Theorem nnaword 6084

Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaword	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem nnaword

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5519	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( x +o A ) = ( C +o A ) )
2		oveq1 5519	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( x +o B ) = ( C +o B ) )
3	1, 2	sseq12d 2974	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
4	3	bibi2d 221	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) ) )
5	4	imbi2d 219	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
6		oveq1 5519	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( x +o A ) = ( (/) +o A ) )
7		oveq1 5519	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( x +o B ) = ( (/) +o B ) )
8	6, 7	sseq12d 2974	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( (/) +o A ) C_ ( (/) +o B ) ) )
9	8	bibi2d 221	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( (/) +o A ) C_ ( (/) +o B ) ) ) )
10		oveq1 5519	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x +o A ) = ( y +o A ) )
11		oveq1 5519	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x +o B ) = ( y +o B ) )
12	10, 11	sseq12d 2974	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) )
13	12	bibi2d 221	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) ) )
14		oveq1 5519	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( x +o A ) = ( suc y +o A ) )
15		oveq1 5519	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( x +o B ) = ( suc y +o B ) )
16	14, 15	sseq12d 2974	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) )
17	16	bibi2d 221	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) )
18		nna0r 6057	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( (/) +o A ) = A )
19	18	eqcomd 2045	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> A = ( (/) +o A ) )
20	19	adantr 261	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> A = ( (/) +o A ) )
21		nna0r 6057	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( (/) +o B ) = B )
22	21	eqcomd 2045	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> B = ( (/) +o B ) )
23	22	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> B = ( (/) +o B ) )
24	20, 23	sseq12d 2974	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( (/) +o A ) C_ ( (/) +o B ) ) )
25		nnacl 6059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( y +o A ) e. om )
26	25	3adant3 924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( y +o A ) e. om )
27		nnacl 6059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( y +o B ) e. om )
28	27	3adant2 923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( y +o B ) e. om )
29		nnsucsssuc 6071	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y +o A ) e. om /\ ( y +o B ) e. om ) -> ( ( y +o A ) C_ ( y +o B ) <-> suc ( y +o A ) C_ suc ( y +o B ) ) )
30	26, 28, 29	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( y +o A ) C_ ( y +o B ) <-> suc ( y +o A ) C_ suc ( y +o B ) ) )
31		nnasuc 6055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
32		peano2 4318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> suc y e. om )
33		nnacom 6063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. om /\ suc y e. om ) -> ( A +o suc y ) = ( suc y +o A ) )
34	32, 33	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = ( suc y +o A ) )
35		nnacom 6063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o y ) = ( y +o A ) )
36		suceq 4139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A +o y ) = ( y +o A ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
38	31, 34, 37	3eqtr3rd 2081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> suc ( y +o A ) = ( suc y +o A ) )
39	38	ancoms 255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> suc ( y +o A ) = ( suc y +o A ) )
40	39	3adant3 924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> suc ( y +o A ) = ( suc y +o A ) )
41		nnasuc 6055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
42		nnacom 6063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. om /\ suc y e. om ) -> ( B +o suc y ) = ( suc y +o B ) )
43	32, 42	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o suc y ) = ( suc y +o B ) )
44		nnacom 6063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o y ) = ( y +o B ) )
45		suceq 4139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B +o y ) = ( y +o B ) -> suc ( B +o y ) = suc ( y +o B ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> suc ( B +o y ) = suc ( y +o B ) )
47	41, 43, 46	3eqtr3rd 2081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> suc ( y +o B ) = ( suc y +o B ) )
48	47	ancoms 255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> suc ( y +o B ) = ( suc y +o B ) )
49	48	3adant2 923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> suc ( y +o B ) = ( suc y +o B ) )
50	40, 49	sseq12d 2974	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( suc ( y +o A ) C_ suc ( y +o B ) <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) )
51	30, 50	bitrd 177	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( y +o A ) C_ ( y +o B ) <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) )
52	51	bibi2d 221	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) )
53	52	biimpd 132	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) -> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) )
54	53	3expib 1107	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) -> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) ) )
55	9, 13, 17, 24, 54	finds2 4324	. . . 4 |- ( x e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) ) )
56	5, 55	vtoclga 2619	. . 3 |- ( C e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) ) )
57	56	impcom 116	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ C e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
58	57	3impa 1099	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   C_ wss 2917   (/)c0 3224   suc csuc 4102   omcom 4313  (class class class)co 5512   +o coa 5998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005

This theorem is referenced by:  nnacan  6085  nnawordi  6088