Theorem nfunsn 5207

Description: If the restriction of a class to a singleton is not a function, its value is the empty set. (Contributed by NM, 8-Aug-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nfunsn	|- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> ( F ` A ) = (/) )

Proof of Theorem nfunsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eumo 1932	. . . . . . 7 |- ( E! y A F y -> E* y A F y )
2		vex 2560	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
3	2	brres 4618	. . . . . . . . 9 |- ( x ( F |` { A } ) y <-> ( x F y /\ x e. { A } ) )
4		velsn 3392	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { A } <-> x = A )
5		breq1 3767	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( x F y <-> A F y ) )
6	4, 5	sylbi 114	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { A } -> ( x F y <-> A F y ) )
7	6	biimpac 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( x F y /\ x e. { A } ) -> A F y )
8	3, 7	sylbi 114	. . . . . . . 8 |- ( x ( F |` { A } ) y -> A F y )
9	8	moimi 1965	. . . . . . 7 |- ( E* y A F y -> E* y x ( F |` { A } ) y )
10	1, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( E! y A F y -> E* y x ( F |` { A } ) y )
11	10	alrimiv 1754	. . . . 5 |- ( E! y A F y -> A. x E* y x ( F |` { A } ) y )
12		relres 4639	. . . . 5 |- Rel ( F |` { A } )
13	11, 12	jctil 295	. . . 4 |- ( E! y A F y -> ( Rel ( F |` { A } ) /\ A. x E* y x ( F |` { A } ) y ) )
14		dffun6 4916	. . . 4 |- ( Fun ( F |` { A } ) <-> ( Rel ( F |` { A } ) /\ A. x E* y x ( F |` { A } ) y ) )
15	13, 14	sylibr 137	. . 3 |- ( E! y A F y -> Fun ( F |` { A } ) )
16	15	con3i 562	. 2 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> -. E! y A F y )
17		tz6.12-2 5169	. 2 |- ( -. E! y A F y -> ( F ` A ) = (/) )
18	16, 17	syl 14	1 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> ( F ` A ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   E!weu 1900   E*wmo 1901   (/)c0 3224   {csn 3375   class class class wbr 3764   |` cres 4347   Rel wrel 4350   Fun wfun 4896   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-res 4357  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910

This theorem is referenced by: (None)