Theorem iundif2ss 3722

Description: Indexed union of class difference. Compare to theorem "De Morgan's laws" in [Enderton] p. 31. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iundif2ss	|- U_ x e. A ( B \ C ) C_ ( B \ |^|_ x e. A C )

Distinct variable group:   x, B

Allowed substitution hints:   A( x)   C( x)

Proof of Theorem iundif2ss

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 2927	. . . . . 6 |- ( y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. C ) )
2	1	rexbii 2331	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. ( B \ C ) <-> E. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) )
3		r19.42v 2467	. . . . 5 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A -. y e. C ) )
4	2, 3	bitri 173	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A -. y e. C ) )
5		rexnalim 2317	. . . . . 6 |- ( E. x e. A -. y e. C -> -. A. x e. A y e. C )
6		vex 2560	. . . . . . 7 |- y e. _V
7		eliin 3662	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C ) )
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C )
9	5, 8	sylnibr 602	. . . . 5 |- ( E. x e. A -. y e. C -> -. y e. |^|_ x e. A C )
10	9	anim2i 324	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ E. x e. A -. y e. C ) -> ( y e. B /\ -. y e. |^|_ x e. A C ) )
11	4, 10	sylbi 114	. . 3 |- ( E. x e. A y e. ( B \ C ) -> ( y e. B /\ -. y e. |^|_ x e. A C ) )
12		eliun 3661	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A ( B \ C ) <-> E. x e. A y e. ( B \ C ) )
13		eldif 2927	. . 3 |- ( y e. ( B \ |^|_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. |^|_ x e. A C ) )
14	11, 12, 13	3imtr4i 190	. 2 |- ( y e. U_ x e. A ( B \ C ) -> y e. ( B \ |^|_ x e. A C ) )
15	14	ssriv 2949	1 |- U_ x e. A ( B \ C ) C_ ( B \ |^|_ x e. A C )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 97   <-> wb 98   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   \ cdif 2914   C_ wss 2917   U_ciun 3657   |^|_ciin 3658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-in 2924  df-ss 2931  df-iun 3659  df-iin 3660

This theorem is referenced by: (None)