Theorem funtpg 4950

Description: A set of three pairs is a function if their first members are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funtpg	|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } )

Proof of Theorem funtpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 901	. . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( X e. U /\ Y e. V ) )
2		3simpa 901	. . . 4 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> ( A e. F /\ B e. G ) )
3		simp1 904	. . . 4 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> X =/= Y )
4		funprg 4949	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ ( A e. F /\ B e. G ) /\ X =/= Y ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. } )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1177	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. } )
6		simp13 936	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Z e. W )
7		simp23 939	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> C e. H )
8		funsng 4946	. . . 4 |- ( ( Z e. W /\ C e. H ) -> Fun { <. Z , C >. } )
9	6, 7, 8	syl2anc 391	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. Z , C >. } )
10	2	3ad2ant2 926	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A e. F /\ B e. G ) )
11		dmpropg 4793	. . . . . 6 |- ( ( A e. F /\ B e. G ) -> dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } )
13		dmsnopg 4792	. . . . . 6 |- ( C e. H -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
14	7, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
15	12, 14	ineq12d 3139	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } i^i dom { <. Z , C >. } ) = ( { X , Y } i^i { Z } ) )
16		elpri 3398	. . . . . . . 8 |- ( Z e. { X , Y } -> ( Z = X \/ Z = Y ) )
17		nner 2210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X = Z -> -. X =/= Z )
18	17	eqcoms 2043	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z = X -> -. X =/= Z )
19		3mix2 1074	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. X =/= Z -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = X -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
21		nner 2210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y = Z -> -. Y =/= Z )
22	21	eqcoms 2043	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z = Y -> -. Y =/= Z )
23		3mix3 1075	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. Y =/= Z -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = Y -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
25	20, 24	jaoi 636	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z = X \/ Z = Y ) -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
26		3ianorr 1204	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) -> -. ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( Z = X \/ Z = Y ) -> -. ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) )
28	16, 27	syl 14	. . . . . . 7 |- ( Z e. { X , Y } -> -. ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) )
29	28	con2i 557	. . . . . 6 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> -. Z e. { X , Y } )
30		disjsn 3432	. . . . . 6 |- ( ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. { X , Y } )
31	29, 30	sylibr 137	. . . . 5 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) )
32	31	3ad2ant3 927	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) )
33	15, 32	eqtrd 2072	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } i^i dom { <. Z , C >. } ) = (/) )
34		funun 4944	. . 3 |- ( ( ( Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. } /\ Fun { <. Z , C >. } ) /\ ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } i^i dom { <. Z , C >. } ) = (/) ) -> Fun ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) )
35	5, 9, 33, 34	syl21anc 1134	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) )
36		df-tp 3383	. . 3 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
37	36	funeqi 4922	. 2 |- ( Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } <-> Fun ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) )
38	35, 37	sylibr 137	1 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 629   \/ w3o 884   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   =/= wne 2204   u. cun 2915   i^i cin 2916   (/)c0 3224   {csn 3375   {cpr 3376   {ctp 3377   <.cop 3378   dom cdm 4345   Fun wfun 4896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-tp 3383  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-fun 4904

This theorem is referenced by:  fntpg  4955