Theorem funeu 4926

Description: There is exactly one value of a function. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funeu	|- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E! y A F y )

Distinct variable groups:   y, A   y, F

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem funeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 4919	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
2		releldm 4569	. . . 4 |- ( ( Rel F /\ A F B ) -> A e. dom F )
3	1, 2	sylan 267	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> A e. dom F )
4		eldmg 4530	. . . 4 |- ( A e. dom F -> ( A e. dom F <-> E. y A F y ) )
5	4	ibi 165	. . 3 |- ( A e. dom F -> E. y A F y )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E. y A F y )
7		funmo 4917	. . . 4 |- ( Fun F -> E* y A F y )
8	7	adantr 261	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E* y A F y )
9		df-mo 1904	. . 3 |- ( E* y A F y <-> ( E. y A F y -> E! y A F y ) )
10	8, 9	sylib 127	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> ( E. y A F y -> E! y A F y ) )
11	6, 10	mpd 13	1 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E! y A F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   E.wex 1381   e. wcel 1393   E!weu 1900   E*wmo 1901   class class class wbr 3764   dom cdm 4345   Rel wrel 4350   Fun wfun 4896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-fun 4904

This theorem is referenced by:  funeu2  4927  funbrfv  5212