Theorem frec2uzzd 9186

Description: The value of G (see frec2uz0d 9185) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzzd	|- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzzd

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzzd.a	. 2 |- ( ph -> A e. om )
2		simpr 103	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = A ) -> w = A )
3	2	eleq1d 2106	. . . 4 |- ( ( ph /\ w = A ) -> ( w e. om <-> A e. om ) )
4	2	fveq2d 5182	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = A ) -> ( G ` w ) = ( G ` A ) )
5	4	eleq1d 2106	. . . 4 |- ( ( ph /\ w = A ) -> ( ( G ` w ) e. ZZ <-> ( G ` A ) e. ZZ ) )
6	3, 5	imbi12d 223	. . 3 |- ( ( ph /\ w = A ) -> ( ( w e. om -> ( G ` w ) e. ZZ ) <-> ( A e. om -> ( G ` A ) e. ZZ ) ) )
7		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( G ` w ) = ( G ` (/) ) )
8	7	eleq1d 2106	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( G ` w ) e. ZZ <-> ( G ` (/) ) e. ZZ ) )
9		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( G ` w ) = ( G ` y ) )
10	9	eleq1d 2106	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( G ` w ) e. ZZ <-> ( G ` y ) e. ZZ ) )
11		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( w = suc y -> ( G ` w ) = ( G ` suc y ) )
12	11	eleq1d 2106	. . . . 5 |- ( w = suc y -> ( ( G ` w ) e. ZZ <-> ( G ` suc y ) e. ZZ ) )
13		frec2uz.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ZZ )
14		frec2uz.2	. . . . . . 7 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
15	13, 14	frec2uz0d 9185	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` (/) ) = C )
16	15, 13	eqeltrd 2114	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` (/) ) e. ZZ )
17		zex 8254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ZZ e. _V
18	17	mptex 5387	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) e. _V
19		vex 2560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
20	18, 19	fvex 5195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
21	20	ax-gen 1338	. . . . . . . . . . . 12 |- A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
22		frecsuc 5991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V /\ C e. ZZ /\ y e. om ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc y ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` y ) ) )
23	21, 22	mp3an1 1219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ZZ /\ y e. om ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc y ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` y ) ) )
24	13, 23	sylan 267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc y ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` y ) ) )
25	14	fveq1i 5179	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` suc y ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc y )
26	14	fveq1i 5179	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ` y ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` y )
27	26	fveq2i 5181	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` y ) ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` y ) )
28	24, 25, 27	3eqtr4g 2097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( G ` suc y ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` y ) ) )
29		oveq1 5519	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( G ` y ) -> ( z + 1 ) = ( ( G ` y ) + 1 ) )
30		oveq1 5519	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x + 1 ) = ( z + 1 ) )
31	30	cbvmptv 3852	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( z e. ZZ |-> ( z + 1 ) )
32		peano2z 8281	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ZZ -> ( z + 1 ) e. ZZ )
33	29, 31, 32	fvmpt3 5251	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` y ) e. ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` y ) ) = ( ( G ` y ) + 1 ) )
34	28, 33	sylan9eq 2092	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( G ` suc y ) = ( ( G ` y ) + 1 ) )
35		peano2z 8281	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` y ) e. ZZ -> ( ( G ` y ) + 1 ) e. ZZ )
36	35	adantl 262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( ( G ` y ) + 1 ) e. ZZ )
37	34, 36	eqeltrd 2114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( G ` suc y ) e. ZZ )
38	37	ex 108	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( ( G ` y ) e. ZZ -> ( G ` suc y ) e. ZZ ) )
39	38	expcom 109	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( ph -> ( ( G ` y ) e. ZZ -> ( G ` suc y ) e. ZZ ) ) )
40	8, 10, 12, 16, 39	finds2 4324	. . . 4 |- ( w e. om -> ( ph -> ( G ` w ) e. ZZ ) )
41	40	com12 27	. . 3 |- ( ph -> ( w e. om -> ( G ` w ) e. ZZ ) )
42	1, 6, 41	vtocld 2606	. 2 |- ( ph -> ( A e. om -> ( G ` A ) e. ZZ ) )
43	1, 42	mpd 13	1 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   (/)c0 3224   |-> cmpt 3818   suc csuc 4102   omcom 4313   ` cfv 4902  (class class class)co 5512  freccfrec 5977   1c1 6890   + caddc 6892   ZZcz 8245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-recs 5920  df-frec 5978  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246

This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  9187  frec2uzltd  9189  frec2uzlt2d  9190  frec2uzf1od  9192  frec2uzrdg  9195