Theorem ex-fl 9895

Description: Example for df-fl 9114. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	|- ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 /\ ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 )

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7026	. . . 4 |- 1 e. RR
2		3re 7989	. . . . 5 |- 3 e. RR
3	2	rehalfcli 8173	. . . 4 |- ( 3 / 2 ) e. RR
4		2cn 7986	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
5	4	mulid2i 7030	. . . . . 6 |- ( 1 x. 2 ) = 2
6		2lt3 8087	. . . . . 6 |- 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 3783	. . . . 5 |- ( 1 x. 2 ) < 3
8		2pos 8007	. . . . . 6 |- 0 < 2
9		2re 7985	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
10	1, 2, 9	ltmuldivi 7888	. . . . . 6 |- ( 0 < 2 -> ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) ) )
11	8, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) )
12	7, 11	mpbi 133	. . . 4 |- 1 < ( 3 / 2 )
13	1, 3, 12	ltleii 7120	. . 3 |- 1 <_ ( 3 / 2 )
14		3lt4 8089	. . . . . 6 |- 3 < 4
15		2t2e4 8069	. . . . . 6 |- ( 2 x. 2 ) = 4
16	14, 15	breqtrri 3789	. . . . 5 |- 3 < ( 2 x. 2 )
17	9, 8	pm3.2i 257	. . . . . 6 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
18		ltdivmul 7842	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) ) )
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1232	. . . . 5 |- ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) )
20	16, 19	mpbir 134	. . . 4 |- ( 3 / 2 ) < 2
21		df-2 7973	. . . 4 |- 2 = ( 1 + 1 )
22	20, 21	breqtri 3787	. . 3 |- ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 )
23		3z 8274	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
24		2nn 8077	. . . . 5 |- 2 e. NN
25		znq 8559	. . . . 5 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( 3 / 2 ) e. QQ )
26	23, 24, 25	mp2an 402	. . . 4 |- ( 3 / 2 ) e. QQ
27		1z 8271	. . . 4 |- 1 e. ZZ
28		flqbi 9132	. . . 4 |- ( ( ( 3 / 2 ) e. QQ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( 3 / 2 ) /\ ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
29	26, 27, 28	mp2an 402	. . 3 |- ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( 3 / 2 ) /\ ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) ) )
30	13, 22, 29	mpbir2an 849	. 2 |- ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1
31	9	renegcli 7273	. . . 4 |- -u 2 e. RR
32	3	renegcli 7273	. . . 4 |- -u ( 3 / 2 ) e. RR
33	3, 9	ltnegi 7485	. . . . 5 |- ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> -u 2 < -u ( 3 / 2 ) )
34	20, 33	mpbi 133	. . . 4 |- -u 2 < -u ( 3 / 2 )
35	31, 32, 34	ltleii 7120	. . 3 |- -u 2 <_ -u ( 3 / 2 )
36	4	negcli 7279	. . . . . . 7 |- -u 2 e. CC
37		ax-1cn 6977	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
38		negdi2 7269	. . . . . . 7 |- ( ( -u 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( -u 2 + 1 ) = ( -u -u 2 - 1 ) )
39	36, 37, 38	mp2an 402	. . . . . 6 |- -u ( -u 2 + 1 ) = ( -u -u 2 - 1 )
40	4	negnegi 7281	. . . . . . 7 |- -u -u 2 = 2
41	40	oveq1i 5522	. . . . . 6 |- ( -u -u 2 - 1 ) = ( 2 - 1 )
42	39, 41	eqtri 2060	. . . . 5 |- -u ( -u 2 + 1 ) = ( 2 - 1 )
43		2m1e1 8034	. . . . . 6 |- ( 2 - 1 ) = 1
44	43, 12	eqbrtri 3783	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) < ( 3 / 2 )
45	42, 44	eqbrtri 3783	. . . 4 |- -u ( -u 2 + 1 ) < ( 3 / 2 )
46	31, 1	readdcli 7040	. . . . 5 |- ( -u 2 + 1 ) e. RR
47	46, 3	ltnegcon1i 7491	. . . 4 |- ( -u ( -u 2 + 1 ) < ( 3 / 2 ) <-> -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 ) )
48	45, 47	mpbi 133	. . 3 |- -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 )
49		qnegcl 8571	. . . . 5 |- ( ( 3 / 2 ) e. QQ -> -u ( 3 / 2 ) e. QQ )
50	26, 49	ax-mp 7	. . . 4 |- -u ( 3 / 2 ) e. QQ
51		2z 8273	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
52		znegcl 8276	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> -u 2 e. ZZ )
53	51, 52	ax-mp 7	. . . 4 |- -u 2 e. ZZ
54		flqbi 9132	. . . 4 |- ( ( -u ( 3 / 2 ) e. QQ /\ -u 2 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 <-> ( -u 2 <_ -u ( 3 / 2 ) /\ -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 ) ) ) )
55	50, 53, 54	mp2an 402	. . 3 |- ( ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 <-> ( -u 2 <_ -u ( 3 / 2 ) /\ -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 ) ) )
56	35, 48, 55	mpbir2an 849	. 2 |- ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2
57	30, 56	pm3.2i 257	1 |- ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 /\ ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 )

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   x. cmul 6894   < clt 7060   <_ cle 7061   - cmin 7182   -ucneg 7183   / cdiv 7651   NNcn 7914   2c2 7964   3c3 7965   4c4 7966   ZZcz 8245   QQcq 8554   |_cfl 9112

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-q 8555  df-rp 8584  df-fl 9114

This theorem is referenced by:  ex-ceil  9896