Theorem enq0ex 6537

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ex	|- ~Q0 e. _V

Proof of Theorem enq0ex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4316	. . . 4 |- om e. _V
2		niex 6410	. . . 4 |- N. e. _V
3	1, 2	xpex 4453	. . 3 |- ( om X. N. ) e. _V
4	3, 3	xpex 4453	. 2 |- ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) ) e. _V
5		df-enq0 6522	. . 3 |- ~Q0 = { <. v , u >. | ( ( v e. ( om X. N. ) /\ u e. ( om X. N. ) ) /\ E. x E. y E. z E. w ( ( v = <. x , y >. /\ u = <. z , w >. ) /\ ( x .o w ) = ( y .o z ) ) ) }
6		opabssxp 4414	. . 3 |- { <. v , u >. | ( ( v e. ( om X. N. ) /\ u e. ( om X. N. ) ) /\ E. x E. y E. z E. w ( ( v = <. x , y >. /\ u = <. z , w >. ) /\ ( x .o w ) = ( y .o z ) ) ) } C_ ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) )
7	5, 6	eqsstri 2975	. 2 |- ~Q0 C_ ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) )
8	4, 7	ssexi 3895	1 |- ~Q0 e. _V

Syntax hints:   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   <.cop 3378   {copab 3817   omcom 4313   X. cxp 4343  (class class class)co 5512   .o comu 5999   N.cnpi 6370   ~_Q0 ceq0 6384

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-opab 3819  df-iom 4314  df-xp 4351  df-ni 6402  df-enq0 6522

This theorem is referenced by:  nqnq0  6539  addnnnq0  6547  mulnnnq0  6548  addclnq0  6549  mulclnq0  6550  prarloclemcalc  6600