Theorem caucvgsrlemasr 6874

Description: Lemma for caucvgsr 6886. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
caucvgsrlemasr.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemasr	|- ( ph -> A e. R. )

Distinct variable group:   A, m

Allowed substitution hints:   ph( m)   F( m)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemasr.bnd	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
2		ltrelsr 6823	. . . . . 6 |- <R C_ ( R. X. R. )
3	2	brel 4392	. . . . 5 |- ( A <R ( F ` m ) -> ( A e. R. /\ ( F ` m ) e. R. ) )
4	3	simpld 105	. . . 4 |- ( A <R ( F ` m ) -> A e. R. )
5	4	ralimi 2384	. . 3 |- ( A. m e. N. A <R ( F ` m ) -> A. m e. N. A e. R. )
6	1, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. m e. N. A e. R. )
7		1pi 6413	. . 3 |- 1o e. N.
8		elex2 2570	. . 3 |- ( 1o e. N. -> E. x x e. N. )
9		r19.3rmv 3312	. . 3 |- ( E. x x e. N. -> ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. ) )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. 2 |- ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. )
11	6, 10	sylibr 137	1 |- ( ph -> A e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306   class class class wbr 3764   ` cfv 4902   1oc1o 5994   N.cnpi 6370   R.cnr 6395   <R cltr 6401

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-1o 6001  df-ni 6402  df-ltr 6815

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  6880  caucvgsrlemofff  6881  caucvgsrlemoffcau  6882  caucvgsrlemoffgt1  6883  caucvgsrlemoffres  6884