Theorem addnq0mo 6545

Description: There is at most one result from adding non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addnq0mo	|- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )

Distinct variable groups:   t, A, u, v, w, z   t, B, u, v, w, z

Proof of Theorem addnq0mo

Dummy variables f g h q s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enq0er 6533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
2	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
3		nnnq0lem1 6544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) )
4		addcmpblnq0 6541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) -> ( ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ) )
5	4	imp 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. )
6	3, 5	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. )
7	2, 6	erthi 6152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
8		simprlr 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 )
9		simprrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
10	7, 8, 9	3eqtr4d 2082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> z = q )
11	10	expr 357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
12	11	exlimdvv 1777	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
13	12	exlimdvv 1777	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
14	13	ex 108	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
15	14	exlimdvv 1777	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
16	15	exlimdvv 1777	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
17	16	impd 242	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
18	17	alrimivv 1755	. . 3 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
19		opeq12 3551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> <. w , v >. = <. s , f >. )
20	19	eceq1d 6142	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
21	20	eqeq2d 2051	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 <-> A = [ <. s , f >. ] ~Q0 ) )
22	21	anbi1d 438	. . . . . . . 8 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) ) )
23		simpl 102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> w = s )
24	23	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( w .o t ) = ( s .o t ) )
25		simpr 103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> v = f )
26	25	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( v .o u ) = ( f .o u ) )
27	24, 26	oveq12d 5530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) = ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) )
28	25	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( v .o t ) = ( f .o t ) )
29	27, 28	opeq12d 3557	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. = <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. )
30	29	eceq1d 6142	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 )
31	30	eqeq2d 2051	. . . . . . . 8 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) )
32	22, 31	anbi12d 442	. . . . . . 7 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
33		opeq12 3551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> <. u , t >. = <. g , h >. )
34	33	eceq1d 6142	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
35	34	eqeq2d 2051	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( B = [ <. u , t >. ] ~Q0 <-> B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) )
36	35	anbi2d 437	. . . . . . . 8 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) ) )
37		simpr 103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> t = h )
38	37	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( s .o t ) = ( s .o h ) )
39		simpl 102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> u = g )
40	39	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( f .o u ) = ( f .o g ) )
41	38, 40	oveq12d 5530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) = ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) )
42	37	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( f .o t ) = ( f .o h ) )
43	41, 42	opeq12d 3557	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. = <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. )
44	43	eceq1d 6142	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
45	44	eqeq2d 2051	. . . . . . . 8 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) )
46	36, 45	anbi12d 442	. . . . . . 7 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) )
47	32, 46	cbvex4v 1805	. . . . . 6 |- ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) )
48	47	anbi2i 430	. . . . 5 |- ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) <-> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) )
49	48	imbi1i 227	. . . 4 |- ( ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) <-> ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
50	49	2albii 1360	. . 3 |- ( A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) <-> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
51	18, 50	sylibr 137	. 2 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
52		eqeq1 2046	. . . . 5 |- ( z = q -> ( z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
53	52	anbi2d 437	. . . 4 |- ( z = q -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
54	53	4exbidv 1750	. . 3 |- ( z = q -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
55	54	mo4 1961	. 2 |- ( E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
56	51, 55	sylibr 137	1 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   E*wmo 1901   <.cop 3378   class class class wbr 3764   omcom 4313   X. cxp 4343  (class class class)co 5512   +o coa 5998   .o comu 5999   Er wer 6103   [cec 6104   /.cqs 6105   N.cnpi 6370   ~_Q0 ceq0 6384

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq0 6522

This theorem is referenced by:  addnnnq0  6547