Theorem i3orlem8 541

Description: Lemma for Kalmbach implication OR builder.

Assertion

Ref	Expression
i3orlem8	(((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ a_|_) =< ((a ->3 b)_|_ v ((a v c) ->3 (b v c)))

Proof of Theorem i3orlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 69	. . . . . 6 (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ a_|_) = ((a v b) ^ ((a v b_|_) ^ a_|_))
2		ancom 68	. . . . . . 7 ((a v b_|_) ^ a_|_) = (a_|_ ^ (a v b_|_))
3	2	lan 70	. . . . . 6 ((a v b) ^ ((a v b_|_) ^ a_|_)) = ((a v b) ^ (a_|_ ^ (a v b_|_)))
4	1, 3	ax-r2 35	. . . . 5 (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ a_|_) = ((a v b) ^ (a_|_ ^ (a v b_|_)))
5		leor 151	. . . . 5 ((a v b) ^ (a_|_ ^ (a v b_|_))) =< (((a v b) ^ ((a ^ b_|_) v (a ^ b))) v ((a v b) ^ (a_|_ ^ (a v b_|_))))
6	4, 5	bltr 130	. . . 4 (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ a_|_) =< (((a v b) ^ ((a ^ b_|_) v (a ^ b))) v ((a v b) ^ (a_|_ ^ (a v b_|_))))
7		i3n1 241	. . . . . . 7 (a_|_ ->3 b_|_) = (((a ^ b_|_) v (a ^ b)) v (a_|_ ^ (a v b_|_)))
8	7	lan 70	. . . . . 6 ((a v b) ^ (a_|_ ->3 b_|_)) = ((a v b) ^ (((a ^ b_|_) v (a ^ b)) v (a_|_ ^ (a v b_|_))))
9		comor1 443	. . . . . . . . 9 (a v b) C a
10		comor2 444	. . . . . . . . . 10 (a v b) C b
11	10	comcom2 175	. . . . . . . . 9 (a v b) C b_|_
12	9, 11	com2an 466	. . . . . . . 8 (a v b) C (a ^ b_|_)
13	9, 10	com2an 466	. . . . . . . 8 (a v b) C (a ^ b)
14	12, 13	com2or 465	. . . . . . 7 (a v b) C ((a ^ b_|_) v (a ^ b))
15	9	comcom2 175	. . . . . . . 8 (a v b) C a_|_
16	9, 11	com2or 465	. . . . . . . 8 (a v b) C (a v b_|_)
17	15, 16	com2an 466	. . . . . . 7 (a v b) C (a_|_ ^ (a v b_|_))
18	14, 17	fh1 451	. . . . . 6 ((a v b) ^ (((a ^ b_|_) v (a ^ b)) v (a_|_ ^ (a v b_|_)))) = (((a v b) ^ ((a ^ b_|_) v (a ^ b))) v ((a v b) ^ (a_|_ ^ (a v b_|_))))
19	8, 18	ax-r2 35	. . . . 5 ((a v b) ^ (a_|_ ->3 b_|_)) = (((a v b) ^ ((a ^ b_|_) v (a ^ b))) v ((a v b) ^ (a_|_ ^ (a v b_|_))))
20	19	ax-r1 34	. . . 4 (((a v b) ^ ((a ^ b_|_) v (a ^ b))) v ((a v b) ^ (a_|_ ^ (a v b_|_)))) = ((a v b) ^ (a_|_ ->3 b_|_))
21	6, 20	lbtr 131	. . 3 (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ a_|_) =< ((a v b) ^ (a_|_ ->3 b_|_))
22	21	ler 141	. 2 (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ a_|_) =< (((a v b) ^ (a_|_ ->3 b_|_)) v ((a v c) ->3 (b v c)))
23		i3orlem6 539	. . 3 ((a ->3 b)_|_ v ((a v c) ->3 (b v c))) = (((a v b) ^ (a_|_ ->3 b_|_)) v ((a v c) ->3 (b v c)))
24	23	ax-r1 34	. 2 (((a v b) ^ (a_|_ ->3 b_|_)) v ((a v c) ->3 (b v c))) = ((a ->3 b)_|_ v ((a v c) ->3 (b v c)))
25	22, 24	lbtr 131	1 (((a v b) ^ (a v b_|_)) ^ a_|_) =< ((a ->3 b)_|_ v ((a v c) ->3 (b v c)))

Syntax hints:   =< wle 2  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->3 wi3 15

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i3 45  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org