Theorem vfintle 4546

Description: If the universe is finite, then the T-raising of all non-empty naturals are no greater than the size of 1_c. Theorem X.1.56 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
vfintle	⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → ⟪ Tfin N, Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin )

Proof of Theorem vfintle

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3559	. . . 4 ⊢ (N ≠ ∅ ↔ ∃a a ∈ N)
2		simp2 956	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ a ∈ N) → N ∈ Nn )
3		ncfinprop 4474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ a ∈ N) → ( Ncfin a ∈ Nn ∧ a ∈ Ncfin a))
4	3	3adant2 974	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ a ∈ N) → ( Ncfin a ∈ Nn ∧ a ∈ Ncfin a))
5	4	simpld 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ a ∈ N) → Ncfin a ∈ Nn )
6		simp3 957	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ a ∈ N) → a ∈ N)
7	4	simprd 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ a ∈ N) → a ∈ Ncfin a)
8		nnceleq 4430	. . . . . . . 8 ⊢ (((N ∈ Nn ∧ Ncfin a ∈ Nn ) ∧ (a ∈ N ∧ a ∈ Ncfin a)) → N = Ncfin a)
9	2, 5, 6, 7, 8	syl22anc 1183	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ a ∈ N) → N = Ncfin a)
10	9	3expia 1153	. . . . . 6 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ) → (a ∈ N → N = Ncfin a))
11		simpr 447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N = Ncfin a) → N = Ncfin a)
12		uncompl 4074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (a ∪ ∼ a) = V
13		ncfineq 4473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((a ∪ ∼ a) = V → Ncfin (a ∪ ∼ a) = Ncfin V)
14	12, 13	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ncfin (a ∪ ∼ a) = Ncfin V
15		vex 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ a ∈ V
16	15	complex 4104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∼ a ∈ V
17		incompl 4073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (a ∩ ∼ a) = ∅
18		ncfindi 4475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ a ∈ V) ∧ ∼ a ∈ V ∧ (a ∩ ∼ a) = ∅) → Ncfin (a ∪ ∼ a) = ( Ncfin a +c Ncfin ∼ a))
19	16, 17, 18	mp3an23 1269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ a ∈ V) → Ncfin (a ∪ ∼ a) = ( Ncfin a +c Ncfin ∼ a))
20	15, 19	mpan2 652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin (a ∪ ∼ a) = ( Ncfin a +c Ncfin ∼ a))
21	14, 20	syl5eqr 2399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin V = ( Ncfin a +c Ncfin ∼ a))
22	21	adantr 451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N = Ncfin a) → Ncfin V = ( Ncfin a +c Ncfin ∼ a))
23	11, 22	opkeq12d 4067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N = Ncfin a) → ⟪N, Ncfin V⟫ = ⟪ Ncfin a, ( Ncfin a +c Ncfin ∼ a)⟫)
24		ncfinex 4472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ncfin a ∈ V
25		ncfinprop 4474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ ∼ a ∈ V) → ( Ncfin ∼ a ∈ Nn ∧ ∼ a ∈ Ncfin ∼ a))
26	16, 25	mpan2 652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin ∼ a ∈ Nn ∧ ∼ a ∈ Ncfin ∼ a))
27	26	simpld 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin ∼ a ∈ Nn )
28		lefinaddc 4450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( Ncfin a ∈ V ∧ Ncfin ∼ a ∈ Nn ) → ⟪ Ncfin a, ( Ncfin a +c Ncfin ∼ a)⟫ ∈ ≤fin )
29	24, 27, 28	sylancr 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (V ∈ Fin → ⟪ Ncfin a, ( Ncfin a +c Ncfin ∼ a)⟫ ∈ ≤fin )
30	29	adantr 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N = Ncfin a) → ⟪ Ncfin a, ( Ncfin a +c Ncfin ∼ a)⟫ ∈ ≤fin )
31	23, 30	eqeltrd 2427	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N = Ncfin a) → ⟪N, Ncfin V⟫ ∈ ≤fin )
32	31	ex 423	. . . . . . 7 ⊢ (V ∈ Fin → (N = Ncfin a → ⟪N, Ncfin V⟫ ∈ ≤fin ))
33	32	adantr 451	. . . . . 6 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ) → (N = Ncfin a → ⟪N, Ncfin V⟫ ∈ ≤fin ))
34	10, 33	syld 40	. . . . 5 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ) → (a ∈ N → ⟪N, Ncfin V⟫ ∈ ≤fin ))
35	34	exlimdv 1636	. . . 4 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ) → (∃a a ∈ N → ⟪N, Ncfin V⟫ ∈ ≤fin ))
36	1, 35	syl5bi 208	. . 3 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ) → (N ≠ ∅ → ⟪N, Ncfin V⟫ ∈ ≤fin ))
37	36	3impia 1148	. 2 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → ⟪N, Ncfin V⟫ ∈ ≤fin )
38		simp2 956	. . . 4 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → N ∈ Nn )
39		vvex 4109	. . . . . . 7 ⊢ V ∈ V
40		ncfinprop 4474	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ V ∈ V) → ( Ncfin V ∈ Nn ∧ V ∈ Ncfin V))
41	39, 40	mpan2 652	. . . . . 6 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin V ∈ Nn ∧ V ∈ Ncfin V))
42	41	3ad2ant1 976	. . . . 5 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → ( Ncfin V ∈ Nn ∧ V ∈ Ncfin V))
43	42	simpld 445	. . . 4 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → Ncfin V ∈ Nn )
44		tfinlefin 4502	. . . 4 ⊢ ((N ∈ Nn ∧ Ncfin V ∈ Nn ) → (⟪N, Ncfin V⟫ ∈ ≤fin ↔ ⟪ Tfin N, Tfin Ncfin V⟫ ∈ ≤fin ))
45	38, 43, 44	syl2anc 642	. . 3 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → (⟪N, Ncfin V⟫ ∈ ≤fin ↔ ⟪ Tfin N, Tfin Ncfin V⟫ ∈ ≤fin ))
46		tncveqnc1fin 4544	. . . . . 6 ⊢ (V ∈ Fin → Tfin Ncfin V = Ncfin 1c)
47	46	3ad2ant1 976	. . . . 5 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → Tfin Ncfin V = Ncfin 1c)
48	47	opkeq2d 4066	. . . 4 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → ⟪ Tfin N, Tfin Ncfin V⟫ = ⟪ Tfin N, Ncfin 1c⟫)
49	48	eleq1d 2419	. . 3 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → (⟪ Tfin N, Tfin Ncfin V⟫ ∈ ≤fin ↔ ⟪ Tfin N, Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin ))
50	45, 49	bitrd 244	. 2 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → (⟪N, Ncfin V⟫ ∈ ≤fin ↔ ⟪ Tfin N, Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin ))
51	37, 50	mpbid 201	1 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → ⟪ Tfin N, Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  Vcvv 2859   ∼ ccompl 3205   ∪ cun 3207   ∩ cin 3208  ∅c0 3550  ⟪copk 4057  1_cc1c 4134   Nn cnnc 4373   +_c cplc 4375   Fin cfin 4376   ≤_fin clefin 4432   Nc_fin cncfin 4434   T_fin ctfin 4435

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443

This theorem is referenced by:  vfinncvntnn  4548  vfinspsslem1  4550