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Theorem vfinncvntnn 4548
Description: If the universe is finite, then the size of the universe is not the T-raising of a natural. Theorem X.1.58 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
vfinncvntnn ((V Fin N Nn ) → Tfin NNcfin V)

Proof of Theorem vfinncvntnn
Dummy variable a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vvex 4109 . . . . . . . 8 V V
2 ncfinprop 4474 . . . . . . . 8 ((V Fin V V) → ( Ncfin V Nn V Ncfin V))
31, 2mpan2 652 . . . . . . 7 (V Fin → ( Ncfin V Nn V Ncfin V))
43simprd 449 . . . . . 6 (V Fin → V Ncfin V)
5 ne0i 3556 . . . . . 6 (V Ncfin V → Ncfin V ≠ )
64, 5syl 15 . . . . 5 (V FinNcfin V ≠ )
76necomd 2599 . . . 4 (V FinNcfin V)
8 tfineq 4488 . . . . . 6 (N = Tfin N = Tfin )
9 tfinnul 4491 . . . . . 6 Tfin =
108, 9syl6eq 2401 . . . . 5 (N = Tfin N = )
1110neeq1d 2529 . . . 4 (N = → ( Tfin NNcfin V ↔ Ncfin V))
127, 11syl5ibr 212 . . 3 (N = → (V FinTfin NNcfin V))
1312adantrd 454 . 2 (N = → ((V Fin N Nn ) → Tfin NNcfin V))
142simpld 445 . . . . . . . . 9 ((V Fin V V) → Ncfin V Nn )
151, 14mpan2 652 . . . . . . . 8 (V FinNcfin V Nn )
16 ltfinirr 4457 . . . . . . . 8 ( Ncfin V Nn → ¬ ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ <fin )
1715, 16syl 15 . . . . . . 7 (V Fin → ¬ ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ <fin )
18173ad2ant1 976 . . . . . 6 ((V Fin N Nn N) → ¬ ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ <fin )
19 vfintle 4546 . . . . . . . 8 ((V Fin N Nn N) → ⟪ Tfin N, Ncfin 1cfin )
20 vfin1cltv 4547 . . . . . . . . 9 (V Fin → ⟪ Ncfin 1c, Ncfin V⟫ <fin )
21203ad2ant1 976 . . . . . . . 8 ((V Fin N Nn N) → ⟪ Ncfin 1c, Ncfin V⟫ <fin )
22 tfinprop 4489 . . . . . . . . . . 11 ((N Nn N) → ( Tfin N Nn a N 1a Tfin N))
2322simpld 445 . . . . . . . . . 10 ((N Nn N) → Tfin N Nn )
24233adant1 973 . . . . . . . . 9 ((V Fin N Nn N) → Tfin N Nn )
25 1cex 4142 . . . . . . . . . . 11 1c V
26 ncfinprop 4474 . . . . . . . . . . . 12 ((V Fin 1c V) → ( Ncfin 1c Nn 1c Ncfin 1c))
2726simpld 445 . . . . . . . . . . 11 ((V Fin 1c V) → Ncfin 1c Nn )
2825, 27mpan2 652 . . . . . . . . . 10 (V FinNcfin 1c Nn )
29283ad2ant1 976 . . . . . . . . 9 ((V Fin N Nn N) → Ncfin 1c Nn )
30153ad2ant1 976 . . . . . . . . 9 ((V Fin N Nn N) → Ncfin V Nn )
31 leltfintr 4458 . . . . . . . . 9 (( Tfin N Nn Ncfin 1c Nn Ncfin V Nn ) → ((⟪ Tfin N, Ncfin 1cfin Ncfin 1c, Ncfin V⟫ <fin ) → ⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ <fin ))
3224, 29, 30, 31syl3anc 1182 . . . . . . . 8 ((V Fin N Nn N) → ((⟪ Tfin N, Ncfin 1cfin Ncfin 1c, Ncfin V⟫ <fin ) → ⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ <fin ))
3319, 21, 32mp2and 660 . . . . . . 7 ((V Fin N Nn N) → ⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ <fin )
34 opkeq1 4059 . . . . . . . 8 ( Tfin N = Ncfin V → ⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ = ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫)
3534eleq1d 2419 . . . . . . 7 ( Tfin N = Ncfin V → (⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ <fin ↔ ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ <fin ))
3633, 35syl5ibcom 211 . . . . . 6 ((V Fin N Nn N) → ( Tfin N = Ncfin V → ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ <fin ))
3718, 36mtod 168 . . . . 5 ((V Fin N Nn N) → ¬ Tfin N = Ncfin V)
38 df-ne 2518 . . . . 5 ( Tfin NNcfin V ↔ ¬ Tfin N = Ncfin V)
3937, 38sylibr 203 . . . 4 ((V Fin N Nn N) → Tfin NNcfin V)
40393expa 1151 . . 3 (((V Fin N Nn ) N) → Tfin NNcfin V)
4140expcom 424 . 2 (N → ((V Fin N Nn ) → Tfin NNcfin V))
4213, 41pm2.61ine 2592 1 ((V Fin N Nn ) → Tfin NNcfin V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 358   w3a 934   = wceq 1642   wcel 1710  wne 2516  wrex 2615  Vcvv 2859  c0 3550  copk 4057  1cc1c 4134  1cpw1 4135   Nn cnnc 4373   Fin cfin 4376  fin clefin 4432   <fin cltfin 4433   Ncfin cncfin 4434   Tfin ctfin 4435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443
This theorem is referenced by:  vfinncvntsp  4549
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