NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  sucoddeven GIF version

Theorem sucoddeven 4511
Description: The successor of an odd natural is even. (Contributed by SF, 22-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
sucoddeven ((A Oddfin (A +c 1c) ≠ ) → (A +c 1c) Evenfin )

Proof of Theorem sucoddeven
Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2359 . . . . . . . 8 (x = A → (x = ((n +c n) +c 1c) ↔ A = ((n +c n) +c 1c)))
21rexbidv 2635 . . . . . . 7 (x = A → (n Nn x = ((n +c n) +c 1c) ↔ n Nn A = ((n +c n) +c 1c)))
3 neeq1 2524 . . . . . . 7 (x = A → (xA))
42, 3anbi12d 691 . . . . . 6 (x = A → ((n Nn x = ((n +c n) +c 1c) x) ↔ (n Nn A = ((n +c n) +c 1c) A)))
5 df-oddfin 4445 . . . . . 6 Oddfin = {x (n Nn x = ((n +c n) +c 1c) x)}
64, 5elab2g 2987 . . . . 5 (A Oddfin → (A Oddfin ↔ (n Nn A = ((n +c n) +c 1c) A)))
76ibi 232 . . . 4 (A Oddfin → (n Nn A = ((n +c n) +c 1c) A))
8 peano2 4403 . . . . . . . 8 (n Nn → (n +c 1c) Nn )
9 addc32 4416 . . . . . . . . . . 11 ((n +c n) +c 1c) = ((n +c 1c) +c n)
109addceq1i 4386 . . . . . . . . . 10 (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (((n +c 1c) +c n) +c 1c)
11 addcass 4415 . . . . . . . . . 10 (((n +c 1c) +c n) +c 1c) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c))
1210, 11eqtri 2373 . . . . . . . . 9 (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c))
13 addceq12 4385 . . . . . . . . . . . 12 ((m = (n +c 1c) m = (n +c 1c)) → (m +c m) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c)))
1413anidms 626 . . . . . . . . . . 11 (m = (n +c 1c) → (m +c m) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c)))
1514eqeq2d 2364 . . . . . . . . . 10 (m = (n +c 1c) → ((((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m) ↔ (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c))))
1615rspcev 2955 . . . . . . . . 9 (((n +c 1c) Nn (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c))) → m Nn (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m))
1712, 16mpan2 652 . . . . . . . 8 ((n +c 1c) Nnm Nn (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m))
188, 17syl 15 . . . . . . 7 (n Nnm Nn (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m))
19 addceq1 4383 . . . . . . . . . . 11 (A = ((n +c n) +c 1c) → (A +c 1c) = (((n +c n) +c 1c) +c 1c))
2019eqeq1d 2361 . . . . . . . . . 10 (A = ((n +c n) +c 1c) → ((A +c 1c) = (m +c m) ↔ (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m)))
2120rexbidv 2635 . . . . . . . . 9 (A = ((n +c n) +c 1c) → (m Nn (A +c 1c) = (m +c m) ↔ m Nn (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m)))
2221biimprd 214 . . . . . . . 8 (A = ((n +c n) +c 1c) → (m Nn (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m) → m Nn (A +c 1c) = (m +c m)))
2322com12 27 . . . . . . 7 (m Nn (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m) → (A = ((n +c n) +c 1c) → m Nn (A +c 1c) = (m +c m)))
2418, 23syl 15 . . . . . 6 (n Nn → (A = ((n +c n) +c 1c) → m Nn (A +c 1c) = (m +c m)))
2524rexlimiv 2732 . . . . 5 (n Nn A = ((n +c n) +c 1c) → m Nn (A +c 1c) = (m +c m))
2625adantr 451 . . . 4 ((n Nn A = ((n +c n) +c 1c) A) → m Nn (A +c 1c) = (m +c m))
277, 26syl 15 . . 3 (A Oddfinm Nn (A +c 1c) = (m +c m))
2827anim1i 551 . 2 ((A Oddfin (A +c 1c) ≠ ) → (m Nn (A +c 1c) = (m +c m) (A +c 1c) ≠ ))
29 1cex 4142 . . . . 5 1c V
30 addcexg 4393 . . . . 5 ((A Oddfin 1c V) → (A +c 1c) V)
3129, 30mpan2 652 . . . 4 (A Oddfin → (A +c 1c) V)
32 eqeq1 2359 . . . . . . 7 (x = (A +c 1c) → (x = (m +c m) ↔ (A +c 1c) = (m +c m)))
3332rexbidv 2635 . . . . . 6 (x = (A +c 1c) → (m Nn x = (m +c m) ↔ m Nn (A +c 1c) = (m +c m)))
34 neeq1 2524 . . . . . 6 (x = (A +c 1c) → (x ↔ (A +c 1c) ≠ ))
3533, 34anbi12d 691 . . . . 5 (x = (A +c 1c) → ((m Nn x = (m +c m) x) ↔ (m Nn (A +c 1c) = (m +c m) (A +c 1c) ≠ )))
36 df-evenfin 4444 . . . . 5 Evenfin = {x (m Nn x = (m +c m) x)}
3735, 36elab2g 2987 . . . 4 ((A +c 1c) V → ((A +c 1c) Evenfin ↔ (m Nn (A +c 1c) = (m +c m) (A +c 1c) ≠ )))
3831, 37syl 15 . . 3 (A Oddfin → ((A +c 1c) Evenfin ↔ (m Nn (A +c 1c) = (m +c m) (A +c 1c) ≠ )))
3938adantr 451 . 2 ((A Oddfin (A +c 1c) ≠ ) → ((A +c 1c) Evenfin ↔ (m Nn (A +c 1c) = (m +c m) (A +c 1c) ≠ )))
4028, 39mpbird 223 1 ((A Oddfin (A +c 1c) ≠ ) → (A +c 1c) Evenfin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 176   wa 358   = wceq 1642   wcel 1710  wne 2516  wrex 2615  Vcvv 2859  c0 3550  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373   +c cplc 4375   Evenfin cevenfin 4436   Oddfin coddfin 4437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445
This theorem is referenced by:  evenoddnnnul  4514  vinf  4555
  Copyright terms: Public domain W3C validator