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Theorem srelkex 4525
Description: The expression at the core of srelk 4524 exists. (Contributed by SF, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
srelkex (( Nn ×k Nn ) ∩ (( Ins3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c) ∩ Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 111c) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) V

Proof of Theorem srelkex
StepHypRef Expression
1 nncex 4396 . . 3 Nn V
21, 1xpkex 4289 . 2 ( Nn ×k Nn ) V
3 1cex 4142 . . . . . . . . . . . 12 1c V
43pwex 4329 . . . . . . . . . . 11 1c V
5 vvex 4109 . . . . . . . . . . 11 V V
64, 5xpkex 4289 . . . . . . . . . 10 (1c ×k V) V
7 ssetkex 4294 . . . . . . . . . . . . 13 Sk V
87ins3kex 4308 . . . . . . . . . . . 12 Ins3k Sk V
97sikex 4297 . . . . . . . . . . . . 13 SIk Sk V
109ins2kex 4307 . . . . . . . . . . . 12 Ins2k SIk Sk V
118, 10symdifex 4108 . . . . . . . . . . 11 ( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) V
123pw1ex 4303 . . . . . . . . . . . . 13 11c V
1312pw1ex 4303 . . . . . . . . . . . 12 111c V
1413pw1ex 4303 . . . . . . . . . . 11 1111c V
1511, 14imakex 4300 . . . . . . . . . 10 (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c) V
166, 15difex 4107 . . . . . . . . 9 ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) V
1716sikex 4297 . . . . . . . 8 SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) V
1817ins3kex 4308 . . . . . . 7 Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) V
197ins2kex 4307 . . . . . . 7 Ins2k Sk V
2018, 19inex 4105 . . . . . 6 ( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) V
2120, 13imakex 4300 . . . . 5 (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c) V
2221ins3kex 4308 . . . 4 Ins3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c) V
2311, 13imakex 4300 . . . . . . . . . 10 (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 111c) V
2423complex 4104 . . . . . . . . 9 ∼ (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 111c) V
2524sikex 4297 . . . . . . . 8 SIk ∼ (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 111c) V
2625ins3kex 4308 . . . . . . 7 Ins3k SIk ∼ (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 111c) V
2726, 19inex 4105 . . . . . 6 ( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 111c) ∩ Ins2k Sk ) V
2827, 13imakex 4300 . . . . 5 (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 111c) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c) V
2928ins2kex 4307 . . . 4 Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 111c) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c) V
3022, 29inex 4105 . . 3 ( Ins3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c) ∩ Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 111c) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) V
3130, 14imakex 4300 . 2 (( Ins3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c) ∩ Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 111c) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c) V
322, 31inex 4105 1 (( Nn ×k Nn ) ∩ (( Ins3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c) ∩ Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 111c) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wcel 1710  Vcvv 2859  ccompl 3205   cdif 3206  cin 3208  csymdif 3209  cpw 3722  1cc1c 4134  1cpw1 4135   ×k cxpk 4174   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177  k cimak 4179   SIk csik 4181   Sk cssetk 4183   Nn cnnc 4373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-addc 4378  df-nnc 4379
This theorem is referenced by:  sfintfinlem1  4531  spfinex  4537
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