Theorem nchoicelem1 6287

Description: Lemma for nchoice 6306. A finite cardinal is not one more than its T-raising. (Contributed by SF, 3-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nchoicelem1	⊢ (A ∈ Nn → ¬ A = ( Tc A +c 1c))

Proof of Theorem nchoicelem1

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncdiv3 6275	. 2 ⊢ (A ∈ Nn → ∃n ∈ Nn (A = ((n +c n) +c n) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
2		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → n ∈ Nn )
3		nntccl 6170	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → Tc n ∈ Nn )
4		nnc3n3p1 6276	. . . . . . 7 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ Tc n ∈ Nn ) → ¬ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
5	2, 3, 4	syl2anc 642	. . . . . 6 ⊢ (n ∈ Nn → ¬ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
6		nncaddccl 4419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ n ∈ Nn ) → (n +c n) ∈ Nn )
7	6	anidms 626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (n ∈ Nn → (n +c n) ∈ Nn )
8		nnnc 6146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((n +c n) ∈ Nn → (n +c n) ∈ NC )
9	7, 8	syl 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → (n +c n) ∈ NC )
10		nnnc 6146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → n ∈ NC )
11		tcdi 6164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((n +c n) ∈ NC ∧ n ∈ NC ) → Tc ((n +c n) +c n) = ( Tc (n +c n) +c Tc n))
12	9, 10, 11	syl2anc 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → Tc ((n +c n) +c n) = ( Tc (n +c n) +c Tc n))
13		tcdi 6164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((n ∈ NC ∧ n ∈ NC ) → Tc (n +c n) = ( Tc n +c Tc n))
14	10, 10, 13	syl2anc 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → Tc (n +c n) = ( Tc n +c Tc n))
15	14	addceq1d 4389	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → ( Tc (n +c n) +c Tc n) = (( Tc n +c Tc n) +c Tc n))
16	12, 15	eqtrd 2385	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ Nn → Tc ((n +c n) +c n) = (( Tc n +c Tc n) +c Tc n))
17	16	addceq1d 4389	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
18	17	eqeq2d 2364	. . . . . 6 ⊢ (n ∈ Nn → (((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c)))
19	5, 18	mtbird 292	. . . . 5 ⊢ (n ∈ Nn → ¬ ((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c))
20		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (A = ((n +c n) +c n) → A = ((n +c n) +c n))
21		tceq 6158	. . . . . . . 8 ⊢ (A = ((n +c n) +c n) → Tc A = Tc ((n +c n) +c n))
22	21	addceq1d 4389	. . . . . . 7 ⊢ (A = ((n +c n) +c n) → ( Tc A +c 1c) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c))
23	20, 22	eqeq12d 2367	. . . . . 6 ⊢ (A = ((n +c n) +c n) → (A = ( Tc A +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c)))
24	23	notbid 285	. . . . 5 ⊢ (A = ((n +c n) +c n) → (¬ A = ( Tc A +c 1c) ↔ ¬ ((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c)))
25	19, 24	syl5ibrcom 213	. . . 4 ⊢ (n ∈ Nn → (A = ((n +c n) +c n) → ¬ A = ( Tc A +c 1c)))
26		nncaddccl 4419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((n +c n) ∈ Nn ∧ n ∈ Nn ) → ((n +c n) +c n) ∈ Nn )
27	7, 2, 26	syl2anc 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (n ∈ Nn → ((n +c n) +c n) ∈ Nn )
28		nnnc 6146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((n +c n) +c n) ∈ Nn → ((n +c n) +c n) ∈ NC )
29	27, 28	syl 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → ((n +c n) +c n) ∈ NC )
30		1cnc 6139	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1c ∈ NC
31		tcdi 6164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((n +c n) +c n) ∈ NC ∧ 1c ∈ NC ) → Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c))
32	29, 30, 31	sylancl 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c))
33		tc1c 6165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Tc 1c = 1c
34	33	a1i 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → Tc 1c = 1c)
35	16, 34	addceq12d 4391	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → ( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
36	32, 35	eqtrd 2385	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ Nn → Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
37	36	eqeq2d 2364	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → (((n +c n) +c n) = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c)))
38	5, 37	mtbird 292	. . . . . 6 ⊢ (n ∈ Nn → ¬ ((n +c n) +c n) = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c))
39		peano2 4403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((n +c n) +c n) ∈ Nn → (((n +c n) +c n) +c 1c) ∈ Nn )
40	27, 39	syl 15	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ Nn → (((n +c n) +c n) +c 1c) ∈ Nn )
41		nntccl 6170	. . . . . . . 8 ⊢ ((((n +c n) +c n) +c 1c) ∈ Nn → Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) ∈ Nn )
42	40, 41	syl 15	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) ∈ Nn )
43		suc11nnc 4558	. . . . . . 7 ⊢ ((((n +c n) +c n) ∈ Nn ∧ Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) ∈ Nn ) → ((((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c)))
44	27, 42, 43	syl2anc 642	. . . . . 6 ⊢ (n ∈ Nn → ((((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c)))
45	38, 44	mtbird 292	. . . . 5 ⊢ (n ∈ Nn → ¬ (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c))
46		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → A = (((n +c n) +c n) +c 1c))
47		tceq 6158	. . . . . . . 8 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → Tc A = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c))
48	47	addceq1d 4389	. . . . . . 7 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → ( Tc A +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c))
49	46, 48	eqeq12d 2367	. . . . . 6 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → (A = ( Tc A +c 1c) ↔ (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c)))
50	49	notbid 285	. . . . 5 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → (¬ A = ( Tc A +c 1c) ↔ ¬ (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c)))
51	45, 50	syl5ibrcom 213	. . . 4 ⊢ (n ∈ Nn → (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → ¬ A = ( Tc A +c 1c)))
52		peano2 4403	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → (n +c 1c) ∈ Nn )
53		nntccl 6170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((n +c 1c) ∈ Nn → Tc (n +c 1c) ∈ Nn )
54	52, 53	syl 15	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ Nn → Tc (n +c 1c) ∈ Nn )
55		nnc3n3p2 6277	. . . . . . . 8 ⊢ (( Tc (n +c 1c) ∈ Nn ∧ n ∈ Nn ) → ¬ (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
56	54, 2, 55	syl2anc 642	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → ¬ (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
57		2nnc 6167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2c ∈ Nn
58		nncaddccl 4419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((n +c n) +c n) ∈ Nn ∧ 2c ∈ Nn ) → (((n +c n) +c n) +c 2c) ∈ Nn )
59	27, 57, 58	sylancl 643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (n ∈ Nn → (((n +c n) +c n) +c 2c) ∈ Nn )
60		nnnc 6146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((n +c n) +c n) +c 2c) ∈ Nn → (((n +c n) +c n) +c 2c) ∈ NC )
61	59, 60	syl 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (n ∈ Nn → (((n +c n) +c n) +c 2c) ∈ NC )
62		tcdi 6164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((n +c n) +c n) +c 2c) ∈ NC ∧ 1c ∈ NC ) → Tc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c Tc 1c))
63	61, 30, 62	sylancl 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (n ∈ Nn → Tc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c Tc 1c))
64	63	eqcomd 2358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c Tc 1c) = Tc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
65	33	addceq2i 4387	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c Tc 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c)
66		addccom 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1c +c 1c) +c n) = (n +c (1c +c 1c))
67		1p1e2c 6155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1c +c 1c) = 2c
68	67	addceq2i 4387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (n +c (1c +c 1c)) = (n +c 2c)
69	66, 68	eqtr2i 2374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (n +c 2c) = ((1c +c 1c) +c n)
70	69	addceq1i 4386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((n +c 2c) +c 1c) = (((1c +c 1c) +c n) +c 1c)
71		addcass 4415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((n +c 2c) +c 1c) = (n +c (2c +c 1c))
72		addcass 4415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1c +c 1c) +c n) +c 1c) = ((1c +c 1c) +c (n +c 1c))
73	70, 71, 72	3eqtr3i 2381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (n +c (2c +c 1c)) = ((1c +c 1c) +c (n +c 1c))
74	73	addceq2i 4387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((n +c n) +c (n +c (2c +c 1c))) = ((n +c n) +c ((1c +c 1c) +c (n +c 1c)))
75		addcass 4415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((n +c n) +c n) +c (2c +c 1c)) = ((n +c n) +c (n +c (2c +c 1c)))
76		addcass 4415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((n +c n) +c (1c +c 1c)) +c (n +c 1c)) = ((n +c n) +c ((1c +c 1c) +c (n +c 1c)))
77	74, 75, 76	3eqtr4i 2383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((n +c n) +c n) +c (2c +c 1c)) = (((n +c n) +c (1c +c 1c)) +c (n +c 1c))
78		addcass 4415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c (2c +c 1c))
79		addc4 4417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) = ((n +c n) +c (1c +c 1c))
80	79	addceq1i 4386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) = (((n +c n) +c (1c +c 1c)) +c (n +c 1c))
81	77, 78, 80	3eqtr4i 2383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c))
82		tceq 6158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) → Tc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)))
83	81, 82	ax-mp 8	. . . . . . . . . 10 ⊢ Tc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c))
84	64, 65, 83	3eqtr3g 2408	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)))
85		nnnc 6146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((n +c 1c) ∈ Nn → (n +c 1c) ∈ NC )
86	52, 85	syl 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (n ∈ Nn → (n +c 1c) ∈ NC )
87		ncaddccl 6144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((n +c 1c) ∈ NC ∧ (n +c 1c) ∈ NC ) → ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) ∈ NC )
88	86, 86, 87	syl2anc 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (n ∈ Nn → ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) ∈ NC )
89		tcdi 6164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((n +c 1c) +c (n +c 1c)) ∈ NC ∧ (n +c 1c) ∈ NC ) → Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) = ( Tc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
90	88, 86, 89	syl2anc 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) = ( Tc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
91		tcdi 6164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((n +c 1c) ∈ NC ∧ (n +c 1c) ∈ NC ) → Tc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) = ( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)))
92	86, 86, 91	syl2anc 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (n ∈ Nn → Tc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) = ( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)))
93	92	addceq1d 4389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → ( Tc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) = (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
94	90, 93	eqtrd 2385	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) = (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
95	84, 94	eqtrd 2385	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ Nn → ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
96	95	eqeq1d 2361	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → (( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
97	56, 96	mtbird 292	. . . . . 6 ⊢ (n ∈ Nn → ¬ ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
98		eqcom 2355	. . . . . 6 ⊢ (( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
99	97, 98	sylnib 295	. . . . 5 ⊢ (n ∈ Nn → ¬ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
100		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → A = (((n +c n) +c n) +c 2c))
101		tceq 6158	. . . . . . . 8 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → Tc A = Tc (((n +c n) +c n) +c 2c))
102	101	addceq1d 4389	. . . . . . 7 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → ( Tc A +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
103	100, 102	eqeq12d 2367	. . . . . 6 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → (A = ( Tc A +c 1c) ↔ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c)))
104	103	notbid 285	. . . . 5 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → (¬ A = ( Tc A +c 1c) ↔ ¬ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c)))
105	99, 104	syl5ibrcom 213	. . . 4 ⊢ (n ∈ Nn → (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → ¬ A = ( Tc A +c 1c)))
106	25, 51, 105	3jaod 1246	. . 3 ⊢ (n ∈ Nn → ((A = ((n +c n) +c n) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 2c)) → ¬ A = ( Tc A +c 1c)))
107	106	rexlimiv 2732	. 2 ⊢ (∃n ∈ Nn (A = ((n +c n) +c n) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 2c)) → ¬ A = ( Tc A +c 1c))
108	1, 107	syl 15	1 ⊢ (A ∈ Nn → ¬ A = ( Tc A +c 1c))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∨ w3o 933   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2615  1_cc1c 4134   Nn cnnc 4373   +_c cplc 4375   NC cncs 6088   T_c ctc 6093  2_cc2c 6094

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-lec 6099  df-nc 6101  df-tc 6103  df-2c 6104

This theorem is referenced by:  nchoice  6306