Theorem lec0cg 6198

Description: Cardinal zero is a minimal element of cardinal less than or equal. Theorem XI.2.15 of [Rosser] p. 376. (Contributed by SF, 4-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lec0cg	⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → 0c ≤c A)

Proof of Theorem lec0cg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3579	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ y
2	1	jctr 526	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ A → (y ∈ A ∧ ∅ ⊆ y))
3	2	eximi 1576	. . . . 5 ⊢ (∃y y ∈ A → ∃y(y ∈ A ∧ ∅ ⊆ y))
4		n0 3559	. . . . 5 ⊢ (A ≠ ∅ ↔ ∃y y ∈ A)
5		df-rex 2620	. . . . 5 ⊢ (∃y ∈ A ∅ ⊆ y ↔ ∃y(y ∈ A ∧ ∅ ⊆ y))
6	3, 4, 5	3imtr4i 257	. . . 4 ⊢ (A ≠ ∅ → ∃y ∈ A ∅ ⊆ y)
7		df-0c 4377	. . . . . 6 ⊢ 0c = {∅}
8		rexeq 2808	. . . . . 6 ⊢ (0c = {∅} → (∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y ↔ ∃x ∈ {∅}∃y ∈ A x ⊆ y))
9	7, 8	ax-mp 8	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y ↔ ∃x ∈ {∅}∃y ∈ A x ⊆ y)
10		0ex 4110	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
11		sseq1 3292	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∅ → (x ⊆ y ↔ ∅ ⊆ y))
12	11	rexbidv 2635	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → (∃y ∈ A x ⊆ y ↔ ∃y ∈ A ∅ ⊆ y))
13	10, 12	rexsn 3768	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ {∅}∃y ∈ A x ⊆ y ↔ ∃y ∈ A ∅ ⊆ y)
14	9, 13	bitri 240	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y ↔ ∃y ∈ A ∅ ⊆ y)
15	6, 14	sylibr 203	. . 3 ⊢ (A ≠ ∅ → ∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y)
16	15	adantl 452	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → ∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y)
17		0cex 4392	. . . 4 ⊢ 0c ∈ V
18		brlecg 6112	. . . 4 ⊢ ((0c ∈ V ∧ A ∈ V) → (0c ≤c A ↔ ∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y))
19	17, 18	mpan 651	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (0c ≤c A ↔ ∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y))
20	19	adantr 451	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → (0c ≤c A ↔ ∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y))
21	16, 20	mpbird 223	1 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → 0c ≤c A)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ⊆ wss 3257  ∅c0 3550  {csn 3737  0_cc0c 4374   class class class wbr 4639   ≤_c clec 6089

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-lec 6099

This theorem is referenced by:  le0nc  6200