NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  1cspfin GIF version

Theorem 1cspfin 4543
Description: If the universe is finite, then the size of 1c is in Spfin. Corollary of Theorem X.1.54 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
1cspfin (V FinNcfin 1c Spfin )

Proof of Theorem 1cspfin
StepHypRef Expression
1 ncvspfin 4538 . 2 Ncfin V Spfin
2 1cvsfin 4542 . 2 (V FinSfin ( Ncfin 1c, Ncfin V))
3 spfinsfincl 4539 . 2 (( Ncfin V Spfin Sfin ( Ncfin 1c, Ncfin V)) → Ncfin 1c Spfin )
41, 2, 3sylancr 644 1 (V FinNcfin 1c Spfin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   wcel 1710  Vcvv 2859  1cc1c 4134   Fin cfin 4376   Ncfin cncfin 4434   Sfin wsfin 4438   Spfin cspfin 4439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-ncfin 4442  df-sfin 4446  df-spfin 4447
This theorem is referenced by:  vfinspclt  4552
  Copyright terms: Public domain W3C validator