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Theorem tfinrelkex 4487

Description: The expression at the core of eqtfinrelk 4486 exists. (Contributed by SF, 30-Jan-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
tfinrelkex	_k ∼ Ins2_k S_k Ins3_k Ins3_k _k S_k Ins2_k Ins2_k Nn _k Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c Ins3_k _k _k₁ 1_c_k₁ 1_c_k₁ ₁ 1_c _k

**Proof of Theorem tfinrelkex**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4111	. . 3
2		snex 4111	. . 3
3	1, 2	xpkex 4289	. 2 _k
4		ssetkex 4294	. . . . . . 7 S_k
5	4	ins2kex 4307	. . . . . 6 Ins2_k S_k
6	4	cnvkex 4287	. . . . . . . . . 10 _k S_k
7	6	ins3kex 4308	. . . . . . . . 9 Ins3_k _k S_k
8		nncex 4396	. . . . . . . . . . . . . . 15 Nn
9		vvex 4109	. . . . . . . . . . . . . . 15
10	8, 9	xpkex 4289	. . . . . . . . . . . . . 14 Nn _k
11	4	sikex 4297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 SI_k S_k
12	11	ins2kex 4307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Ins2_k SI_k S_k
13		1cex 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1_c
14	13	pwex 4329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1_c
15	14, 9	xpkex 4289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1_c _k
16	4	ins3kex 4308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ins3_k S_k
17	16, 12	symdifex 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k
18	13	pw1ex 4303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ₁ 1_c
19	18	pw1ex 4303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ₁ ₁ 1_c
20	19	pw1ex 4303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ₁ ₁ ₁ 1_c
21	17, 20	imakex 4300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c
22	15, 21	difex 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c
23	22	sikex 4297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c
24	23	ins3kex 4308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c
25	24, 5	inex 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k
26	25, 19	imakex 4300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c
27	26	ins3kex 4308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c
28	12, 27	inex 4105	. . . . . . . . . . . . . . 15 Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c
29	28, 20	imakex 4300	. . . . . . . . . . . . . 14 Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c
30	10, 29	inex 4105	. . . . . . . . . . . . 13 Nn _k Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c
31	30	ins2kex 4307	. . . . . . . . . . . 12 Ins2_k Nn _k Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c
32		idkex 4314	. . . . . . . . . . . . 13 _k
33	32	ins3kex 4308	. . . . . . . . . . . 12 Ins3_k _k
34	31, 33	symdifex 4108	. . . . . . . . . . 11 Ins2_k Nn _k Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c Ins3_k _k
35	34, 18	imakex 4300	. . . . . . . . . 10 Ins2_k Nn _k Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c Ins3_k _k _k₁ 1_c
36	35	ins2kex 4307	. . . . . . . . 9 Ins2_k Ins2_k Nn _k Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c Ins3_k _k _k₁ 1_c
37	7, 36	difex 4107	. . . . . . . 8 Ins3_k _k S_k Ins2_k Ins2_k Nn _k Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c Ins3_k _k _k₁ 1_c
38	37, 18	imakex 4300	. . . . . . 7 Ins3_k _k S_k Ins2_k Ins2_k Nn _k Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c Ins3_k _k _k₁ 1_c_k₁ 1_c
39	38	ins3kex 4308	. . . . . 6 Ins3_k Ins3_k _k S_k Ins2_k Ins2_k Nn _k Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c Ins3_k _k _k₁ 1_c_k₁ 1_c
40	5, 39	symdifex 4108	. . . . 5 Ins2_k S_k Ins3_k Ins3_k _k S_k Ins2_k Ins2_k Nn _k Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c Ins3_k _k _k₁ 1_c_k₁ 1_c
41	40, 19	imakex 4300	. . . 4 Ins2_k S_k Ins3_k Ins3_k _k S_k Ins2_k Ins2_k Nn _k Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c Ins3_k _k _k₁ 1_c_k₁ 1_c_k₁ ₁ 1_c
42	41	complex 4104	. . 3 ∼ Ins2_k S_k Ins3_k Ins3_k _k S_k Ins2_k Ins2_k Nn _k Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c Ins3_k _k _k₁ 1_c_k₁ 1_c_k₁ ₁ 1_c
43	1, 9	xpkex 4289	. . 3 _k
44	42, 43	difex 4107	. 2 ∼ Ins2_k S_k Ins3_k Ins3_k _k S_k Ins2_k Ins2_k Nn _k Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c Ins3_k _k _k₁ 1_c_k₁ 1_c_k₁ ₁ 1_c _k
45	3, 44	unex 4106	1 _k ∼ Ins2_k S_k Ins3_k Ins3_k _k S_k Ins2_k Ins2_k Nn _k Ins2_k SI_k S_k Ins3_k Ins3_k SI_k 1_c _k Ins3_k S_k Ins2_k SI_k S_k _k₁ ₁ ₁ 1_c Ins2_k S_k _k₁ ₁ 1_c_k₁ ₁ ₁ 1_c Ins3_k _k _k₁ 1_c_k₁ 1_c_k₁ ₁ 1_c _k

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wcel 1710

cvv 2859 ∼ ccompl 3205

cdif 3206

cun 3207

cin 3208

csymdif 3209

c0 3550

cpw 3722

csn 3737 1_cc1c 4134

₁ cpw1 4135

_k cxpk 4174

_kccnvk 4175 Ins2_k cins2k 4176 Ins3_k cins3k 4177

_kcimak 4179 SI_k csik 4181 S_k cssetk 4183

_k cidk 4184 Nn cnnc 4373

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-3 7 ax-mp 8 ax-gen 1546 ax-5 1557 ax-17 1616 ax-9 1654 ax-8 1675 ax-6 1729 ax-7 1734 ax-11 1746 ax-12 1925 ax-ext 2334 ax-nin 4078 ax-xp 4079 ax-cnv 4080 ax-1c 4081 ax-sset 4082 ax-si 4083 ax-ins2 4084 ax-ins3 4085 ax-typlower 4086 ax-sn 4087

This theorem depends on definitions: df-bi 177 df-or 359 df-an 360 df-3an 936 df-nan 1288 df-tru 1319 df-ex 1542 df-nf 1545 df-sb 1649 df-clab 2340 df-cleq 2346 df-clel 2349 df-nfc 2478 df-ne 2518 df-ral 2619 df-rex 2620 df-v 2861 df-sbc 3047 df-nin 3211 df-compl 3212 df-in 3213 df-un 3214 df-dif 3215 df-symdif 3216 df-ss 3259 df-nul 3551 df-if 3663 df-pw 3724 df-sn 3741 df-pr 3742 df-uni 3892 df-int 3927 df-opk 4058 df-1c 4136 df-pw1 4137 df-uni1 4138 df-xpk 4185 df-cnvk 4186 df-ins2k 4187 df-ins3k 4188 df-imak 4189 df-cok 4190 df-p6 4191 df-sik 4192 df-ssetk 4193 df-imagek 4194 df-idk 4195 df-addc 4378 df-nnc 4379

This theorem is referenced by: sfintfinlem1 4531 tfinnnlem1 4533 vfinspss 4551 vfinspclt 4552 vfinncsp 4554

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