NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  f1oiso Unicode version

Theorem f1oiso 5499
Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation . Proposition 6.33 of [TakeutiZaring] p. 34. (Contributed by set.mm contributors, 30-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1oiso
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,)

Proof of Theorem f1oiso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . 2
2 f1of1 5286 . . 3
3 df-br 4640 . . . . 5
4 eleq2 2414 . . . . . . 7
5 fvex 5339 . . . . . . . . 9
6 fvex 5339 . . . . . . . . 9
7 eqeq1 2359 . . . . . . . . . . . 12
87anbi1d 685 . . . . . . . . . . 11
98anbi1d 685 . . . . . . . . . 10
1092rexbidv 2657 . . . . . . . . 9
11 eqeq1 2359 . . . . . . . . . . . 12
1211anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11
1312anbi1d 685 . . . . . . . . . 10
14132rexbidv 2657 . . . . . . . . 9
155, 6, 10, 14opelopab 4708 . . . . . . . 8
16 anass 630 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 f1fveq 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18 eqcom 2355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1917, 18syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15
2216, 21syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . 14
2322rexbidv 2635 . . . . . . . . . . . . 13
24 r19.42v 2765 . . . . . . . . . . . . 13
2523, 24syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12
2625rexbidva 2631 . . . . . . . . . . 11
27 breq1 4642 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14
2928rexbidv 2635 . . . . . . . . . . . . 13
3029ceqsrexv 2972 . . . . . . . . . . . 12
3130adantl 452 . . . . . . . . . . 11
3226, 31bitrd 244 . . . . . . . . . 10
33 f1fveq 5473 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 eqcom 2355 . . . . . . . . . . . . . . 15
3533, 34syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14
3635anassrs 629 . . . . . . . . . . . . 13
3736anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12
3837rexbidva 2631 . . . . . . . . . . 11
39 breq2 4643 . . . . . . . . . . . . 13
4039ceqsrexv 2972 . . . . . . . . . . . 12
4140adantl 452 . . . . . . . . . . 11
4238, 41bitrd 244 . . . . . . . . . 10
4332, 42sylan9bb 680 . . . . . . . . 9
4443anandis 803 . . . . . . . 8
4515, 44syl5bb 248 . . . . . . 7
464, 45sylan9bbr 681 . . . . . 6
4746an32s 779 . . . . 5
483, 47syl5rbb 249 . . . 4
4948ralrimivva 2706 . . 3
502, 49sylan 457 . 2
51 df-iso 4796 . 2
521, 50, 51sylanbrc 645 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1642   wcel 1710  wral 2614  wrex 2615  cop 4561  copab 4622   class class class wbr 4639  wf1 4778  wf1o 4780  cfv 4781   wiso 4782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-iso 4796
This theorem is referenced by:  f1oiso2  5500
  Copyright terms: Public domain W3C validator