Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zriotaneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zriotaneg 11367
 Description: The negative of the unique integer such that 𝜑. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
zriotaneg.1 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
zriotaneg (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem zriotaneg
StepHypRef Expression
1 tru 1479 . 2
2 nfriota1 6518 . . . 4 𝑦(𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
32nfneg 10156 . . 3 𝑦-(𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
4 znegcl 11289 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
54adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → -𝑦 ∈ ℤ)
6 simpr 476 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
76znegcld 11360 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
8 zriotaneg.1 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
9 negeq 10152 . . 3 (𝑦 = (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) → -𝑦 = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
10 znegcl 11289 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
11 zcn 11259 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
12 zcn 11259 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
13 negcon2 10213 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1411, 12, 13syl2an 493 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1510, 14reuhyp 4822 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
1615adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
173, 5, 7, 8, 9, 16riotaxfrd 6541 . 2 ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
181, 17mpan 702 1 (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  ∃!wreu 2898  ℩crio 6510  ℂcc 9813  -cneg 10146  ℤcz 11254 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-z 11255 This theorem is referenced by:  dfceil2  12502
 Copyright terms: Public domain W3C validator