Theorem znnenlem 14779

Description: Lemma for znnen 14780. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnenlem	⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (2 · 𝑥) = ((-2 · 𝑦) + 1)))

Proof of Theorem znnenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11258	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
2		zre 11258	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
3		0re 9919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnle 9996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑦))
5	3, 4	mpan2 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑦))
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑦))
7	6	anbi1d 737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (¬ 0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 𝑥)))
8		ltletr 10008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
9	3, 8	mp3an2 1404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
10	7, 9	sylbird 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((¬ 0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
11	10	ancoms 468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((¬ 0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
12	11	ancomsd 469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 𝑦 < 𝑥))
13		ltne 10013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
14	13	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → 𝑥 ≠ 𝑦))
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 → 𝑥 ≠ 𝑦))
16	12, 15	syld 46	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦))
17	1, 2, 16	syl2an 493	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦))
18	17	impcom 445	. . 3 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
19		znegcl 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
20		zneo 11336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑦 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · -𝑦) + 1))
21	19, 20	sylan2 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · -𝑦) + 1))
22		2cn 10968	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		zcn 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
24		mulneg12 10347	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-2 · 𝑦) = (2 · -𝑦))
25	22, 23, 24	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-2 · 𝑦) = (2 · -𝑦))
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (-2 · 𝑦) = (2 · -𝑦))
27	26	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((-2 · 𝑦) + 1) = ((2 · -𝑦) + 1))
28	21, 27	neeqtrrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((-2 · 𝑦) + 1))
29	28	adantl 481	. . 3 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (2 · 𝑥) ≠ ((-2 · 𝑦) + 1))
30	18, 29	2thd 254	. 2 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (2 · 𝑥) ≠ ((-2 · 𝑦) + 1)))
31	30	necon4bid 2827	1 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (2 · 𝑥) = ((-2 · 𝑦) + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954  -cneg 10146  2c2 10947  ℤcz 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255

This theorem is referenced by: (None)