MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmin 11660
Description: There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
zmin (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmin
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnssz 11274 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℤ
2 arch 11166 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑧)
3 ssrexv 3630 . . . . . 6 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧))
41, 2, 3mpsyl 66 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧)
5 zre 11258 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
6 ltle 10005 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧𝐴𝑧))
75, 6sylan2 490 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑧𝐴𝑧))
87reximdva 3000 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴𝑧))
94, 8mpd 15 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴𝑧)
10 rabn0 3912 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴𝑧)
119, 10sylibr 223 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ≠ ∅)
12 breq2 4587 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑛 → (𝐴𝑧𝐴𝑛))
1312cbvrabv 3172 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑛}
1413eqimssi 3622 . . . 4 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑛}
15 uzwo3 11659 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑛} ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦)
1614, 15mpanr1 715 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ≠ ∅) → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦)
1711, 16mpdan 699 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦)
18 breq2 4587 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝐴𝑧𝐴𝑥))
1918elrab 3331 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑥))
20 breq2 4587 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴𝑦))
2120ralrab 3335 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))
2219, 21anbi12i 729 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
23 anass 679 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
2422, 23bitri 263 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
2524eubii 2480 . . 3 (∃!𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
26 df-reu 2903 . . 3 (∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦))
27 df-reu 2903 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
2825, 26, 273bitr4i 291 . 2 (∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
2917, 28sylib 207 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  ∃!weu 2458  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  ∃!wreu 2898  {crab 2900  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4583  cr 9814   < clt 9953  cle 9954  cn 10897  cz 11254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564
This theorem is referenced by:  zmax  11661  zbtwnre  11662
  Copyright terms: Public domain W3C validator