Theorem zclmncvs 22756

Description: The set of integers (as a subring of itself) is a complex module, but not a complex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
zclmncvs.z	⊢ 𝑍 = (ringLMod‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
zclmncvs	⊢ (𝑍 ∈ ℂMod ∧ 𝑍 ∉ ℂVec)

Proof of Theorem zclmncvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 19640	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
2		rlmlmod 19026	. . . . 5 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (ringLMod‘ℤring) ∈ LMod)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℤring) ∈ LMod
4		rlmsca 19021	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℤring = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring))
6		df-zring 19638	. . . . 5 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
7	5, 6	eqtr3i 2634	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (ℂfld ↾s ℤ)
8		zsubrg 19618	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
9		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring))
10	9	isclmi 22685	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (ℂfld ↾s ℤ) ∧ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod)
11	3, 7, 8, 10	mp3an 1416	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod
12		zclmncvs.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ringLMod‘ℤring)
13	12	eleq1i 2679	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℂMod ↔ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod)
14	11, 13	mpbir 220	. 2 ⊢ 𝑍 ∈ ℂMod
15		zringndrg 19657	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∉ DivRing
16	15	neli 2885	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ℤring ∈ DivRing
17	4	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = ℤring)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = ℤring
19	18	eleq1i 2679	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing ↔ ℤring ∈ DivRing)
20	16, 19	mtbir 312	. . . . . 6 ⊢ ¬ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing
21	20	intnan 951	. . . . 5 ⊢ ¬ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing)
22	9	islvec 18925	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LVec ↔ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing))
23	21, 22	mtbir 312	. . . 4 ⊢ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec
24	23	olci 405	. . 3 ⊢ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec)
25		df-nel 2783	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∉ ℂVec ↔ ¬ 𝑍 ∈ ℂVec)
26		ianor 508	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∧ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec) ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
27		elin 3758	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ ((ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∧ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
28	26, 27	xchnxbir 322	. . . . 5 ⊢ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
29		df-cvs 22732	. . . . . 6 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
30	12, 29	eleq12i 2681	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℂVec ↔ (ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec))
31	28, 30	xchnxbir 322	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ ℂVec ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
32	25, 31	bitri 263	. . 3 ⊢ (𝑍 ∉ ℂVec ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
33	24, 32	mpbir 220	. 2 ⊢ 𝑍 ∉ ℂVec
34	14, 33	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℂMod ∧ 𝑍 ∉ ℂVec)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781   ∩ cin 3539  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℤcz 11254   ↾_s cress 15696  Scalarcsca 15771  Ringcrg 18370  DivRingcdr 18570  SubRingcsubrg 18599  LModclmod 18686  LVecclvec 18923  ringLModcrglmod 18990  ℂ_fldccnfld 19567  ℤ_ringzring 19637  ℂModcclm 22670  ℂVecccvs 22731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-gz 15472  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-clm 22671  df-cvs 22732

This theorem is referenced by: (None)