Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zabsle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zabsle1 24821
 Description: {-1, 0, 1} is the set of all integers with absolute value at most 1. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
zabsle1 (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (abs‘𝑍) ≤ 1))

Proof of Theorem zabsle1
StepHypRef Expression
1 eltpi 4176 . . 3 (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
2 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑍 = -1 → (abs‘𝑍) = (abs‘-1))
3 ax-1cn 9873 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
43absnegi 13987 . . . . . . 7 (abs‘-1) = (abs‘1)
5 abs1 13885 . . . . . . 7 (abs‘1) = 1
64, 5eqtri 2632 . . . . . 6 (abs‘-1) = 1
7 1le1 10534 . . . . . 6 1 ≤ 1
86, 7eqbrtri 4604 . . . . 5 (abs‘-1) ≤ 1
92, 8syl6eqbr 4622 . . . 4 (𝑍 = -1 → (abs‘𝑍) ≤ 1)
10 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑍 = 0 → (abs‘𝑍) = (abs‘0))
11 abs0 13873 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
12 0le1 10430 . . . . . 6 0 ≤ 1
1311, 12eqbrtri 4604 . . . . 5 (abs‘0) ≤ 1
1410, 13syl6eqbr 4622 . . . 4 (𝑍 = 0 → (abs‘𝑍) ≤ 1)
15 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑍 = 1 → (abs‘𝑍) = (abs‘1))
165, 7eqbrtri 4604 . . . . 5 (abs‘1) ≤ 1
1715, 16syl6eqbr 4622 . . . 4 (𝑍 = 1 → (abs‘𝑍) ≤ 1)
189, 14, 173jaoi 1383 . . 3 ((𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1) → (abs‘𝑍) ≤ 1)
191, 18syl 17 . 2 (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} → (abs‘𝑍) ≤ 1)
20 zre 11258 . . . 4 (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℝ)
21 1red 9934 . . . 4 (𝑍 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
2220, 21absled 14017 . . 3 (𝑍 ∈ ℤ → ((abs‘𝑍) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1)))
23 elz 11256 . . . 4 (𝑍 ∈ ℤ ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ)))
24 3mix2 1224 . . . . . . . . . 10 (𝑍 = 0 → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
2524a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑍 = 0 → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
26 nnle1eq1 10925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∈ ℕ → (𝑍 ≤ 1 ↔ 𝑍 = 1))
2726biimpac 502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 ≤ 1 ∧ 𝑍 ∈ ℕ) → 𝑍 = 1)
28273mix3d 1231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 ≤ 1 ∧ 𝑍 ∈ ℕ) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
2928ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 ≤ 1 → (𝑍 ∈ ℕ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
3029adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1) → (𝑍 ∈ ℕ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
3130adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 ∈ ℕ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
3231com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ ℕ → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
33 elnnz1 11280 . . . . . . . . . 10 (-𝑍 ∈ ℕ ↔ (-𝑍 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ -𝑍))
34 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
35 lenegcon2 10412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (1 ≤ -𝑍𝑍 ≤ -1))
3634, 35mpancom 700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ ℝ → (1 ≤ -𝑍𝑍 ≤ -1))
37 neg1rr 11002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑍 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
39 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℝ)
4038, 39letri3d 10058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑍 ∈ ℝ → (-1 = 𝑍 ↔ (-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ -1)))
41 3mix1 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑍 = -1 → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
4241eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-1 = 𝑍 → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
4340, 42syl6bir 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑍 ∈ ℝ → ((-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ -1) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ -1) → (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
4544ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-1 ≤ 𝑍 → (𝑍 ≤ -1 → (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1) → (𝑍 ≤ -1 → (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
4746com13 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 ≤ -1 → ((-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
4836, 47sylbid 229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ ℝ → (1 ≤ -𝑍 → ((-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
4948com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (1 ≤ -𝑍 → (𝑍 ∈ ℝ → ((-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
5049impd 446 . . . . . . . . . . 11 (1 ≤ -𝑍 → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
5150adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((-𝑍 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ -𝑍) → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
5233, 51sylbi 206 . . . . . . . . 9 (-𝑍 ∈ ℕ → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
5325, 32, 523jaoi 1383 . . . . . . . 8 ((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
5453imp 444 . . . . . . 7 (((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1))) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
55 eltpg 4174 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
5655adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
5756adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1))) → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
5854, 57mpbird 246 . . . . . 6 (((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1))) → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1})
5958exp32 629 . . . . 5 ((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) → (𝑍 ∈ ℝ → ((-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1) → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1})))
6059impcom 445 . . . 4 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ)) → ((-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1) → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1}))
6123, 60sylbi 206 . . 3 (𝑍 ∈ ℤ → ((-1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1) → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1}))
6222, 61sylbid 229 . 2 (𝑍 ∈ ℤ → ((abs‘𝑍) ≤ 1 → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1}))
6319, 62impbid2 215 1 (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (abs‘𝑍) ≤ 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {ctp 4129   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   ≤ cle 9954  -cneg 10146  ℕcn 10897  ℤcz 11254  abscabs 13822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824 This theorem is referenced by:  lgscl1  24845
 Copyright terms: Public domain W3C validator