Theorem z2ge 11903

Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
z2ge	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem z2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifcl 4080	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
2	1	ancoms 468	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
3		zre 11258	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4		zre 11258	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5		max1 11890	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
6		max2 11892	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
7	5, 6	jca 553	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
8	3, 4, 7	syl2an 493	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
9		breq2 4587	. . . 4 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10		breq2 4587	. . . 4 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
11	9, 10	anbi12d 743	. . 3 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) ↔ (𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))))
12	11	rspcev 3282	. 2 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
13	2, 8, 12	syl2anc 691	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   ≤ cle 9954  ℤcz 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255

This theorem is referenced by: (None)