Theorem xrsupss 12011

Description: Any subset of extended reals has a supremum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrsupss	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsupsslem 12009	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2		ssdifss 3703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*)
3		ssxr 9986	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
4		df-3or 1032	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
5		neldifsn 4262	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})
6	5	biorfi 421	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
7	4, 6	bitr4i 266	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
8	3, 7	sylib 207	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
9		xrsupsslem 12009	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
10	8, 9	mpdan 699	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
11	2, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
12		xrsupexmnf 12007	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
13		snssi 4280	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → {-∞} ⊆ 𝐴)
14		undif 4001	. . . . . . . 8 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 ↔ ({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = 𝐴)
15		uncom 3719	. . . . . . . . 9 ⊢ ({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})
16	15	eqeq1i 2615	. . . . . . . 8 ⊢ (({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴)
17	14, 16	bitri 263	. . . . . . 7 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴)
18		raleq 3115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
19		rexeq 3116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
20	19	imbi2d 329	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
21	20	ralbidv 2969	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
22	18, 21	anbi12d 743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
23	17, 22	sylbi 206	. . . . . 6 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
24	13, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
25	24	rexbidv 3034	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
26	12, 25	syl5ib 233	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
27	11, 26	mpan9 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
28		ssxr 9986	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
29		df-3or 1032	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
30	28, 29	sylib 207	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
31	1, 27, 30	mpjaodan 823	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  supxrcl  12017  supxrun  12018  supxrunb1  12021  supxrunb2  12022  supxrub  12026  supxrlub  12027  xrsupssd  28914  xrsclat  29011  itg2addnclem  32631