Theorem xrge0iifcv 29308

Description: The defined function's value in the real. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrge0iifhmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
xrge0iifcv	⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = -(log‘𝑋))

Distinct variable group:   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocssicc 12132	. . . 4 ⊢ (0(,]1) ⊆ (0[,]1)
2	1	sseli 3564	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
3		eqeq1 2614	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
4		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (log‘𝑥) = (log‘𝑋))
5	4	negeqd 10154	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑋))
6	3, 5	ifbieq2d 4061	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
7		xrge0iifhmeo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
8		pnfex 9972	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
9		negex 10158	. . . . 5 ⊢ -(log‘𝑋) ∈ V
10	8, 9	ifex 4106	. . . 4 ⊢ if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ V
11	6, 7, 10	fvmpt 6191	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
12	2, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
13		0xr 9965	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		1re 9918	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		elioc2 12107	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1)))
16	13, 14, 15	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
17	16	simp2bi 1070	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝑋)
18	17	gt0ne0d 10471	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ≠ 0)
19	18	neneqd 2787	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → ¬ 𝑋 = 0)
20	19	iffalsed 4047	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) = -(log‘𝑋))
21	12, 20	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = -(log‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  +∞cpnf 9950  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  -cneg 10146  (,]cioc 12047  [,]cicc 12049  logclog 24105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-ioc 12051  df-icc 12053

This theorem is referenced by:  xrge0iifiso  29309  xrge0iifhom  29311