Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpchom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpchom2 16649
 Description: Value of the set of morphisms in the binary product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xpcco2.t 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
xpcco2.x 𝑋 = (Base‘𝐶)
xpcco2.y 𝑌 = (Base‘𝐷)
xpcco2.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
xpcco2.j 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
xpcco2.m (𝜑𝑀𝑋)
xpcco2.n (𝜑𝑁𝑌)
xpcco2.p (𝜑𝑃𝑋)
xpcco2.q (𝜑𝑄𝑌)
xpchom2.k 𝐾 = (Hom ‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
xpchom2 (𝜑 → (⟨𝑀, 𝑁𝐾𝑃, 𝑄⟩) = ((𝑀𝐻𝑃) × (𝑁𝐽𝑄)))

Proof of Theorem xpchom2
StepHypRef Expression
1 xpcco2.t . . 3 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
2 xpcco2.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐶)
3 xpcco2.y . . . 4 𝑌 = (Base‘𝐷)
41, 2, 3xpcbas 16641 . . 3 (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇)
5 xpcco2.h . . 3 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6 xpcco2.j . . 3 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
7 xpchom2.k . . 3 𝐾 = (Hom ‘𝑇)
8 xpcco2.m . . . 4 (𝜑𝑀𝑋)
9 xpcco2.n . . . 4 (𝜑𝑁𝑌)
10 opelxpi 5072 . . . 4 ((𝑀𝑋𝑁𝑌) → ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
118, 9, 10syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
12 xpcco2.p . . . 4 (𝜑𝑃𝑋)
13 xpcco2.q . . . 4 (𝜑𝑄𝑌)
14 opelxpi 5072 . . . 4 ((𝑃𝑋𝑄𝑌) → ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
1512, 13, 14syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
161, 4, 5, 6, 7, 11, 15xpchom 16643 . 2 (𝜑 → (⟨𝑀, 𝑁𝐾𝑃, 𝑄⟩) = (((1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐻(1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) × ((2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐽(2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩))))
17 op1stg 7071 . . . . 5 ((𝑀𝑋𝑁𝑌) → (1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑀)
188, 9, 17syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑀)
19 op1stg 7071 . . . . 5 ((𝑃𝑋𝑄𝑌) → (1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑃)
2012, 13, 19syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑃)
2118, 20oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → ((1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐻(1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) = (𝑀𝐻𝑃))
22 op2ndg 7072 . . . . 5 ((𝑀𝑋𝑁𝑌) → (2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑁)
238, 9, 22syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑁)
24 op2ndg 7072 . . . . 5 ((𝑃𝑋𝑄𝑌) → (2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑄)
2512, 13, 24syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑄)
2623, 25oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → ((2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐽(2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) = (𝑁𝐽𝑄))
2721, 26xpeq12d 5064 . 2 (𝜑 → (((1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐻(1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) × ((2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐽(2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩))) = ((𝑀𝐻𝑃) × (𝑁𝐽𝑄)))
2816, 27eqtrd 2644 1 (𝜑 → (⟨𝑀, 𝑁𝐾𝑃, 𝑄⟩) = ((𝑀𝐻𝑃) × (𝑁𝐽𝑄)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1st c1st 7057  2nd c2nd 7058  Basecbs 15695  Hom chom 15779   ×c cxpc 16631 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-hom 15793  df-cco 15794  df-xpc 16635 This theorem is referenced by:  xpcco2  16650  prfcl  16666  evlfcl  16685  curf1cl  16691  curf2cl  16694  curfcl  16695  uncf2  16700  uncfcurf  16702  diag12  16707  diag2  16708  curf2ndf  16710  yonedalem22  16741  yonedalem3b  16742
 Copyright terms: Public domain W3C validator