Theorem xnegex 11913

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 11822	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 9975	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3186	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 9972	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 10158	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4106	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4106	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2684	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952  -cneg 10146  -_𝑒cxne 11819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-un 6847  ax-cnex 9871

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-uni 4373  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-neg 10148  df-xneg 11822

This theorem is referenced by:  xrhmeo  22553