Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmettri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmettri2 21955
 Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettri2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem xmettri2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6130 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 isxmet 21939 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
43ibi 255 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
54simprd 478 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
6 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) → ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
76ralimi 2936 . . . . . 6 (∀𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) → ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
87ralimi 2936 . . . . 5 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
95, 8syl 17 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
10 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑦))
11 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑧𝐷𝐴))
1211oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1310, 12breq12d 4596 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝐴𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
14 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝐵))
15 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑧𝐷𝐵))
1615oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵)))
1714, 16breq12d 4596 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵))))
18 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐶 → (𝑧𝐷𝐴) = (𝐶𝐷𝐴))
19 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐶 → (𝑧𝐷𝐵) = (𝐶𝐷𝐵))
2018, 19oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐶 → ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵)) = ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
2120breq2d 4595 . . . . 5 (𝑧 = 𝐶 → ((𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵)) ↔ (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
2213, 17, 21rspc3v 3296 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
239, 22syl5 33 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
24233comr 1265 . 2 ((𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
2524impcom 445 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   +𝑒 cxad 11820  ∞Metcxmt 19552 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-xr 9957  df-xmet 19560 This theorem is referenced by:  mettri2  21956  xmetge0  21959  xmetsym  21962  xmetpsmet  21963  xmettri  21966  xmetres2  21976  prdsxmetlem  21983  imasf1oxmet  21990  xblss2  22017  xmstri2  22081  comet  22128
 Copyright terms: Public domain W3C validator