Theorem xaddnepnf 11942

Description: Closure of extended real addition in the subset ℝ^* / {+∞}. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddnepnf	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)

Proof of Theorem xaddnepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnepnf 11828	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞))
2		xrnepnf 11828	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
3		rexadd 11937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4		readdcl 9898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	3, 4	eqeltrd 2688	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ)
6	5	renepnfd 9969	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
7		oveq2 6557	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
8		rexr 9964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
9		renepnf 9966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
10		xaddmnf1 11933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
11	8, 9, 10	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
12	7, 11	sylan9eqr 2666	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
13		mnfnepnf 9974	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ≠ +∞
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≠ +∞)
15	12, 14	eqnetrd 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
16	6, 15	jaodan 822	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
17	2, 16	sylan2b 491	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
18		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
19		xaddmnf2 11934	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
20	18, 19	sylan9eq 2664	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
21	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → -∞ ≠ +∞)
22	20, 21	eqnetrd 2849	. . 3 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
23	17, 22	jaoian 820	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
24	1, 23	sylanb 488	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952   +_𝑒 cxad 11820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-i2m1 9883

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-xadd 11823

This theorem is referenced by:  xlt2add  11962