Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadddi Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Distributive property for extended real addition and multiplication. Like xaddass 11951, this has an unusual domain of correctness due to counterexamples like (+∞ · (2 − 1)) = -∞ ≠ ((+∞ · 2) − (+∞ · 1)) = (+∞ − +∞) = 0. In this theorem we show that if the multiplier is real then everything works as expected. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddi ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))

StepHypRef Expression
1 xadddilem 11996 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
2 simpl2 1058 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 simpl3 1059 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4 xaddcl 11944 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
52, 3, 4syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
6 xmul02 11970 . . . . 5 ((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = 0)
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = 0)
8 0xr 9965 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
9 xaddid1 11946 . . . . 5 (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (0 +𝑒 0) = 0
117, 10syl6eqr 2662 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (0 +𝑒 0))
12 simpr 476 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
1312oveq1d 6564 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
14 xmul02 11970 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
152, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐵) = 0)
1612oveq1d 6564 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
1715, 16eqtr3d 2646 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴 ·e 𝐵))
18 xmul02 11970 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
193, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = 0)
2012oveq1d 6564 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e 𝐶))
2119, 20eqtr3d 2646 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴 ·e 𝐶))
2217, 21oveq12d 6567 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 +𝑒 0) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
2311, 13, 223eqtr3d 2652 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
24 simp1 1054 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 rexneg 11916 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
27 renegcl 10223 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2826, 27eqeltrd 2688 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
2925, 28syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
30 simpl2 1058 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31 simpl3 1059 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3224rexrd 9968 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33 xlt0neg1 11924 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
3534biimpa 500 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝑒𝐴)
36 xadddilem 11996 . . . . 5 (((-𝑒𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < -𝑒𝐴) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)))
3729, 30, 31, 35, 36syl31anc 1321 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)))
3832adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3930, 31, 4syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
40 xmulneg1 11971 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
4138, 39, 40syl2anc 691 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
42 xmulneg1 11971 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐵) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐵))
4338, 30, 42syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐵) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐵))
44 xmulneg1 11971 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐶) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐶))
4538, 31, 44syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐶) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐶))
4643, 45oveq12d 6567 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)) = (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -𝑒(𝐴 ·e 𝐶)))
47 xmulcl 11975 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
4838, 30, 47syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
49 xmulcl 11975 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
5038, 31, 49syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
51 xnegdi 11950 . . . . . 6 (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -𝑒(𝐴 ·e 𝐶)))
5248, 50, 51syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -𝑒(𝐴 ·e 𝐶)))
5346, 52eqtr4d 2647 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
5437, 41, 533eqtr3d 2652 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
55 xmulcl 11975 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
5638, 39, 55syl2anc 691 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
57 xaddcl 11944 . . . . 5 (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
5848, 50, 57syl2anc 691 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
59 xneg11 11920 . . . 4 (((𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ↔ (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶))))
6056, 58, 59syl2anc 691 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ↔ (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶))))
6154, 60mpbid 221 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
62 0re 9919 . . 3 0 ∈ ℝ
63 lttri4 10001 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴𝐴 < 0))
6462, 24, 63sylancr 694 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴𝐴 < 0))
651, 23, 61, 64mpjao3dan 1387 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  ℝ*cxr 9952   < clt 9953  -cneg 10146  -𝑒cxne 11819   +𝑒 cxad 11820   ·e cxmu 11821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824 This theorem is referenced by:  xadddir  11998  xadddi2  11999
 Copyright terms: Public domain W3C validator