Theorem xadddi 11997

Description: Distributive property for extended real addition and multiplication. Like xaddass 11951, this has an unusual domain of correctness due to counterexamples like (+∞ · (2 − 1)) = -∞ ≠ ((+∞ · 2) − (+∞ · 1)) = (+∞ − +∞) = 0. In this theorem we show that if the multiplier is real then everything works as expected. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xadddi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xadddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xadddilem 11996	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
2		simpl2 1058	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simpl3 1059	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		xaddcl 11944	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
5	2, 3, 4	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
6		xmul02 11970	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = 0)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = 0)
8		0xr 9965	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		xaddid1 11946	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 +𝑒 0) = 0
11	7, 10	syl6eqr 2662	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (0 +𝑒 0))
12		simpr 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
13	12	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
14		xmul02 11970	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
15	2, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐵) = 0)
16	12	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
17	15, 16	eqtr3d 2646	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴 ·e 𝐵))
18		xmul02 11970	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
19	3, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = 0)
20	12	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e 𝐶))
21	19, 20	eqtr3d 2646	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴 ·e 𝐶))
22	17, 21	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 +𝑒 0) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
23	11, 13, 22	3eqtr3d 2652	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
24		simp1 1054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		rexneg 11916	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
27		renegcl 10223	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
28	26, 27	eqeltrd 2688	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
29	25, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
30		simpl2 1058	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31		simpl3 1059	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐶 ∈ ℝ*)
32	24	rexrd 9968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		xlt0neg1 11924	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
35	34	biimpa 500	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝑒𝐴)
36		xadddilem 11996	. . . . 5 ⊢ (((-𝑒𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < -𝑒𝐴) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)))
37	29, 30, 31, 35, 36	syl31anc 1321	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)))
38	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
39	30, 31, 4	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
40		xmulneg1 11971	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
41	38, 39, 40	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
42		xmulneg1 11971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐵) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐵))
43	38, 30, 42	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐵) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐵))
44		xmulneg1 11971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐶) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐶))
45	38, 31, 44	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐶) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐶))
46	43, 45	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)) = (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -𝑒(𝐴 ·e 𝐶)))
47		xmulcl 11975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
48	38, 30, 47	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
49		xmulcl 11975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
50	38, 31, 49	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
51		xnegdi 11950	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -𝑒(𝐴 ·e 𝐶)))
52	48, 50, 51	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -𝑒(𝐴 ·e 𝐶)))
53	46, 52	eqtr4d 2647	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
54	37, 41, 53	3eqtr3d 2652	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
55		xmulcl 11975	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
56	38, 39, 55	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
57		xaddcl 11944	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
58	48, 50, 57	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
59		xneg11 11920	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ↔ (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶))))
60	56, 58, 59	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ↔ (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶))))
61	54, 60	mpbid 221	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
62		0re 9919	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
63		lttri4 10001	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
64	62, 24, 63	sylancr 694	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
65	1, 23, 61, 64	mpjao3dan 1387	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953  -cneg 10146  -_𝑒cxne 11819   +_𝑒 cxad 11820   ·_e cxmu 11821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824

This theorem is referenced by:  xadddir  11998  xadddi2  11999