Theorem wzelOLD 31016

Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.) Obsolete version of wzel 31015 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
wzelOLD	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem wzelOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weso 5029	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
2		socnv 30908	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → ◡𝑅 Or 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → ◡𝑅 Or 𝐴)
4	3	3ad2ant1 1075	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ◡𝑅 Or 𝐴)
5		simp1 1054	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 We 𝐴)
6		simp2 1055	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Se 𝐴)
7		ssid 3587	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐴)
9		simp3 1056	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
10		tz6.26 5628	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
11	5, 6, 8, 9, 10	syl22anc 1319	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
12		pm2.27 41	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13	12	ad2antll 761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ↔ 𝑦◡𝑅𝑥))
15	14	rspcev 3282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦◡𝑅𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)
16	15	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))
17	16	ad2antrl 760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))
18	13, 17	jctird 565	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))))
19		vex 3176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		vex 3176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
21	20	elpred 5610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
23	22	notbii 309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
24		imnan 437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
25	23, 24	bitr4i 266	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
26	19, 20	brcnv 5227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)
27	26	notbii 309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
28	27	anbi1i 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)) ↔ (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)))
29	18, 25, 28	3imtr4g 284	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))))
30	29	expr 641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)))))
31	30	com23 84	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)))))
32	31	alimdv 1832	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)))))
33		eq0 3888	. . . . 5 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
34		r19.26 3046	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)))
35		df-ral 2901	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))))
36	34, 35	bitr3i 265	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))))
37	32, 33, 36	3imtr4g 284	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))))
38	37	reximdva 3000	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))))
39	11, 38	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)))
40	4, 39	supcl 8247	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   Or wor 4958   Se wse 4995   We wwe 4996  ^◡ccnv 5037  Predcpred 5596  supcsup 8229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-iota 5768  df-riota 6511  df-sup 8231

This theorem is referenced by: (None)