Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wzelOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wzelOLD 31016
 Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.) Obsolete version of wzel 31015 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
wzelOLD ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem wzelOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 weso 5029 . . . 4 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
2 socnv 30908 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
31, 2syl 17 . . 3 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
433ad2ant1 1075 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Or 𝐴)
5 simp1 1054 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 We 𝐴)
6 simp2 1055 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Se 𝐴)
7 ssid 3587 . . . . 5 𝐴𝐴
87a1i 11 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
9 simp3 1056 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
10 tz6.26 5628 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴𝐴𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
115, 6, 8, 9, 10syl22anc 1319 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
12 pm2.27 41 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1312ad2antll 761 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑅𝑥))
1514rspcev 3282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)
1615ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))
1716ad2antrl 760 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))
1813, 17jctird 565 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
19 vex 3176 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
20 vex 3176 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
2120elpred 5610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)))
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
2322notbii 309 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
24 imnan 437 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
2523, 24bitr4i 266 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
2619, 20brcnv 5227 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
2726notbii 309 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2827anbi1i 727 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))
2918, 25, 283imtr4g 284 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3029expr 641 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐴 → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))))
3130com23 84 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (𝑦𝐴 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))))
3231alimdv 1832 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → ∀𝑦(𝑦𝐴 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))))
33 eq0 3888 . . . . 5 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
34 r19.26 3046 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))
35 df-ral 2901 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3634, 35bitr3i 265 . . . . 5 ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3732, 33, 363imtr4g 284 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3837reximdva 3000 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3911, 38mpd 15 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))
404, 39supcl 8247 1 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   Or wor 4958   Se wse 4995   We wwe 4996  ◡ccnv 5037  Predcpred 5596  supcsup 8229 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-iota 5768  df-riota 6511  df-sup 8231 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator