MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlktovf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlktovf 13547
Description: Lemma 1 for wrd2f1tovbij 13551. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
wrd2f1tovbij.d 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((#‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
wrd2f1tovbij.r 𝑅 = {𝑛𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
wrd2f1tovbij.f 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡‘1))
Assertion
Ref Expression
wwlktovf 𝐹:𝐷𝑅
Distinct variable groups:   𝑡,𝐷   𝑃,𝑛,𝑡,𝑤   𝑡,𝑅   𝑛,𝑉,𝑡,𝑤   𝑛,𝑋,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑛)   𝑅(𝑤,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑡,𝑛)   𝑋(𝑡)

Proof of Theorem wwlktovf
StepHypRef Expression
1 wrd2f1tovbij.f . 2 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡‘1))
2 wrdf 13165 . . . . 5 (𝑡 ∈ Word 𝑉𝑡:(0..^(#‘𝑡))⟶𝑉)
3 oveq2 6557 . . . . . . . 8 ((#‘𝑡) = 2 → (0..^(#‘𝑡)) = (0..^2))
43feq2d 5944 . . . . . . 7 ((#‘𝑡) = 2 → (𝑡:(0..^(#‘𝑡))⟶𝑉𝑡:(0..^2)⟶𝑉))
5 1nn0 11185 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
6 2nn 11062 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
7 1lt2 11071 . . . . . . . . 9 1 < 2
8 elfzo0 12376 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
95, 6, 7, 8mpbir3an 1237 . . . . . . . 8 1 ∈ (0..^2)
10 ffvelrn 6265 . . . . . . . 8 ((𝑡:(0..^2)⟶𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^2)) → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
119, 10mpan2 703 . . . . . . 7 (𝑡:(0..^2)⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
124, 11syl6bi 242 . . . . . 6 ((#‘𝑡) = 2 → (𝑡:(0..^(#‘𝑡))⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉))
13123ad2ant1 1075 . . . . 5 (((#‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → (𝑡:(0..^(#‘𝑡))⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉))
142, 13mpan9 485 . . . 4 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
15 preq1 4212 . . . . . . . 8 ((𝑡‘0) = 𝑃 → {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} = {𝑃, (𝑡‘1)})
1615eleq1d 2672 . . . . . . 7 ((𝑡‘0) = 𝑃 → ({(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋 ↔ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
1716biimpa 500 . . . . . 6 (((𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
18173adant1 1072 . . . . 5 (((#‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
1918adantl 481 . . . 4 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
2014, 19jca 553 . . 3 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → ((𝑡‘1) ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
21 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → (#‘𝑤) = (#‘𝑡))
2221eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ((#‘𝑤) = 2 ↔ (#‘𝑡) = 2))
23 fveq1 6102 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘0) = (𝑡‘0))
2423eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ (𝑡‘0) = 𝑃))
25 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘1) = (𝑡‘1))
2623, 25preq12d 4220 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} = {(𝑡‘0), (𝑡‘1)})
2726eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋 ↔ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
2822, 24, 273anbi123d 1391 . . . 4 (𝑤 = 𝑡 → (((#‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋) ↔ ((#‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)))
29 wrd2f1tovbij.d . . . 4 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((#‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
3028, 29elrab2 3333 . . 3 (𝑡𝐷 ↔ (𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)))
31 preq2 4213 . . . . 5 (𝑛 = (𝑡‘1) → {𝑃, 𝑛} = {𝑃, (𝑡‘1)})
3231eleq1d 2672 . . . 4 (𝑛 = (𝑡‘1) → ({𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋 ↔ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
33 wrd2f1tovbij.r . . . 4 𝑅 = {𝑛𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
3432, 33elrab2 3333 . . 3 ((𝑡‘1) ∈ 𝑅 ↔ ((𝑡‘1) ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
3520, 30, 343imtr4i 280 . 2 (𝑡𝐷 → (𝑡‘1) ∈ 𝑅)
361, 35fmpti 6291 1 𝐹:𝐷𝑅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  {crab 2900  {cpr 4127   class class class wbr 4583  cmpt 4643  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154
This theorem is referenced by:  wwlktovf1  13548  wwlktovfo  13549
  Copyright terms: Public domain W3C validator