Theorem wwlksubclwwlk 26332

Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksubclwwlk	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑀 − 1))))

Proof of Theorem wwlksubclwwlk

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknimp 26304	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ ran 𝐸))
2		simpl 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) → 𝑋 ∈ Word 𝑉)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑋 ∈ Word 𝑉)
4		simpl 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ ℕ)
6		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
7		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
9		peano2re 10088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
12		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
14	8, 11, 13	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
16	7	lep1d 10834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
18	17	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
19		letr 10010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))
20	15, 18, 19	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
21	20	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ 𝑁))
22	21	expd 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ 𝑁)))
23	22	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ 𝑁))
24	23	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ 𝑁))
25	6, 24	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ 𝑁))
26	25	impcom 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ≤ 𝑁)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ≤ 𝑁)
28		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑋) = 𝑁 → (𝑀 ≤ (#‘𝑋) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) → (𝑀 ≤ (#‘𝑋) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑀 ≤ (#‘𝑋) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
31	27, 30	mpbird 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ≤ (#‘𝑋))
32		swrdn0 13282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ (#‘𝑋)) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ≠ ∅)
33	3, 5, 31, 32	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ≠ ∅)
34	33	adantlr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ≠ ∅)
35		swrdcl 13271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑉 → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉)
39		nnz 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
40		eluzp1m1 11587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
41	40	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
43		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
44	39, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
45	7	lem1d 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
46		eluzuzle 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))))
47	44, 45, 46	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))))
48	42, 47	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))))
49	48	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
50		fzoss2 12365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
53		ssralv 3629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
55	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝑉)
56	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
57	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
58	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
60	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
61		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
62	61	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
63	56, 57, 59, 60, 62	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
64		nnnn0 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
67		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
69		0red 9920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
70	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
71	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
72	69, 70, 71	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
73	72	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
74	64	nn0ge0d 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑀)
76	75	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
77		letr 10010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
78	73, 76, 77	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
79	68, 78	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
80		elnn0z 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
81	79, 80	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
82	81	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
83	82	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0)))
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0)))
85	84	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
86	85	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
87		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
88	66, 86, 87	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
89	63, 88	mpdan 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
90	89	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
91	90	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
92	6, 91	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
93	92	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
94		elfz2nn0 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
95	93, 94	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
97		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑋) = 𝑁 → (0...(#‘𝑋)) = (0...𝑁))
98	97	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑋) = 𝑁 → (𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
99	98	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
101	96, 100	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)))
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)))
103	44, 39, 45	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
104		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
105	103, 104	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
106		fzoss2 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
108	107	sseld 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
111	110	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
112		swrd0fv 13291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
113	55, 102, 111, 112	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
114	113	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋‘𝑖) = ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖))
115		fzonn0p1p1 12413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)))
116		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
117		npcan1 10334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
119	118	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (0..^((𝑀 − 1) + 1)) = (0..^𝑀))
120	119	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
121	115, 120	syl5ib 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
122	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
123	122	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
124	123	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀))
125		swrd0fv 13291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
126	55, 102, 124, 125	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
127	126	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋‘(𝑖 + 1)) = ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1)))
128	114, 127	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → {(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} = {((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))})
129	128	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ({(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
130	129	ralbidva 2968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
131	54, 130	sylibd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
132	131	impancom 455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
133	132	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
134	3, 101	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋))))
135	134	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋))))
136		swrd0len 13274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = 𝑀)
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = 𝑀)
138	137	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1) = (𝑀 − 1))
139	138	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)) = (0..^(𝑀 − 1)))
140	139	raleqdv 3121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
141	133, 140	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
142	34, 38, 141	3jca 1235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
143	3, 101, 136	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = 𝑀)
144	118	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
145	144	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
146	145	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
147	143, 146	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))
148	147	adantlr 747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))
149	142, 148	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
150	149	ex 449	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
151	150	3adant3 1074	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
152	1, 151	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
153	152	impcom 445	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → (((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
154		nnm1nn0 11211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
155	154	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
156		clwwlknprop 26300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑋) = 𝑁)))
157	156	simp1d 1066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
158	155, 157	anim12ci 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0))
159		df-3an 1033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) ↔ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0))
160	158, 159	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0))
161		iswwlkn 26212	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
162	160, 161	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
163		iswwlk 26211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
164	157, 163	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
165	164	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
166	165	anbi1d 737	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → (((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1)) ↔ (((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
167	162, 166	bitrd 267	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑀 − 1)) ↔ (((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
168	153, 167	mpbird 246	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑀 − 1)))
169	168	ex 449	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑀 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   substr csubstr 13150   WWalks cwwlk 26205   WWalksN cwwlkn 26206   ClWWalksN cclwwlkn 26277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280

This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f  26630