Theorem wwlksn0s 41057

Description: The set of all walks as words of length 0 is the set of all words of length 1 over the vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksn0s	⊢ (0 WWalkSN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 1}

Distinct variable group:   𝑤,𝐺

Proof of Theorem wwlksn0s

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11184	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		wwlksn 41040	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalkSN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = (0 + 1)})
3		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	3, 4	iswwlks 41039	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalkS‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6		0p1e1 11009	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
7	6	eqeq2i 2622	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑤) = (0 + 1) ↔ (#‘𝑤) = 1)
8	5, 7	anbi12i 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑤) = 1))
9		simp2 1055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10		vex 3176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑤 ∈ V
11		0lt1 10429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
12		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → (0 < (#‘𝑤) ↔ 0 < 1))
13	11, 12	mpbiri 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → 0 < (#‘𝑤))
14		hashgt0n0 13017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ V ∧ 0 < (#‘𝑤)) → 𝑤 ≠ ∅)
15	10, 13, 14	sylancr 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → 𝑤 ≠ ∅)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ≠ ∅)
17		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18		ral0 4028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)
19		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → ((#‘𝑤) − 1) = (1 − 1))
20		1m1e0 10966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 1) = 0
21	19, 20	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → ((#‘𝑤) − 1) = 0)
22	21	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → (0..^((#‘𝑤) − 1)) = (0..^0))
23		fzo0 12361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^0) = ∅
24	22, 23	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → (0..^((#‘𝑤) − 1)) = ∅)
25	24	raleqdv 3121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	18, 25	mpbiri 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
28	16, 17, 27	3jca 1235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
29	28	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
30	9, 29	impbid2 215	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑤) = 1 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
31	30	pm5.32ri 668	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑤) = 1) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 1))
32	8, 31	bitri 263	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 1))
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑤 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 1)))
34	33	rabbidva2 3162	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → {𝑤 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = (0 + 1)} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 1})
35	2, 34	eqtrd 2644	. 2 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalkSN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 1})
36	1, 35	ax-mp 5	1 ⊢ (0 WWalkSN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 1}

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   − cmin 10145  ℕ₀cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792  WWalkScwwlks 41028   WWalkSN cwwlksn 41029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034

This theorem is referenced by:  wwlksn0  41059  rusgrnumwwlkb0  41174