Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wwlksm1edg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksm1edg 41078
 Description: Removing the trailing edge from a walk (as word) with at least one edge results in a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wwlksm1edg ((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺))

Proof of Theorem wwlksm1edg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2610 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2iswwlks 41039 . . 3 (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 lencl 13179 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
5 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
6 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
7 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 2 ∈ ℝ)
9 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
11 1le2 11118 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≤ 2
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ≤ 2)
13 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 2 ≤ (#‘𝑊))
146, 8, 10, 12, 13letrd 10073 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ≤ (#‘𝑊))
155, 14jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
16 elnnnn0c 11215 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
1715, 16sylibr 223 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
18 lbfzo0 12375 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (#‘𝑊) ∈ ℕ)
1917, 18sylibr 223 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
20 nn0ge2m1nn 11237 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
21 lbfzo0 12375 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)) ↔ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
2220, 21sylibr 223 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
2319, 22jca 553 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
244, 23sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
25 inelcm 3984 . . . . . . . 8 ((0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
27 wrdfn 13174 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
2827adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
29 fnresdisj 5915 . . . . . . . . . 10 (𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)) → (((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
31 nn0ge2m1nn0 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
3210lem1d 10836 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
3331, 5, 323jca 1235 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
344, 33sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
35 elfz2nn0 12300 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
3634, 35sylibr 223 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
37 swrd0val 13273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
3837eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
3938bicomd 212 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅))
4036, 39syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅))
4130, 40bitr2d 268 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅ ↔ ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
4241necon3bid 2826 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ↔ ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅))
4326, 42mpbird 246 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅)
44433ad2antl2 1217 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅)
45 swrdcl 13271 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
4645a1d 25 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
47463ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
4847imp 444 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
49 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
50 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
52 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5551adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
56 peano2rem 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) ∈ ℝ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
579, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
5857lem1d 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1))
6054, 55, 593jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
614, 60sylan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
62 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ↔ ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
6361, 62sylibr 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
649lem1d 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
6631, 5, 653jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
674, 66sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
6867, 35sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
69 swrd0len 13274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) = ((#‘𝑊) − 1))
7069oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
7168, 70syldan 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
7271fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (ℤ‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) = (ℤ‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
7363, 72eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)))
74 fzoss2 12365 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
76 ssralv 3629 . . . . . . . . . . 11 ((0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7868, 69syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) = ((#‘𝑊) − 1))
7978oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
8079oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
8180eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))))
82 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8436adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
854, 31sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
86 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
87 fzossrbm1 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
8985, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
9089sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
91 swrd0fv 13291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥) = (𝑊𝑥))
9283, 84, 90, 91syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥) = (𝑊𝑥))
9392eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊𝑥) = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥))
944, 20sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
95 elfzom1p1elfzo 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
9694, 95sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
97 swrd0fv 13291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
9883, 84, 96, 97syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
9998eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘(𝑥 + 1)) = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)))
10093, 99preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → {(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))})
101100ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) → {(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))}))
10281, 101sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) → {(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))}))
103102imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → {(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))})
104103eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → ({(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
105104biimpd 218 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → ({(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106105ralimdva 2945 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
10777, 106syld 46 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
108107expcom 450 . . . . . . . 8 (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
109108com3l 87 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
110109a1i 11 . . . . . 6 (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1111103imp1 1272 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
1121, 2iswwlks 41039 . . . . 5 ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
11344, 48, 111, 112syl3anbrc 1239 . . . 4 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺))
114113ex 449 . . 3 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺)))
1153, 114sylbi 206 . 2 (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺)))
116115imp 444 1 ((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792  WWalkScwwlks 41028 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-wwlks 41033 This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem3  41117
 Copyright terms: Public domain W3C validator