Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunress 15767
 Description: Closure of structure restriction in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunress.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wunress.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
wunress.3 (𝜑𝑊𝑈)
Assertion
Ref Expression
wunress (𝜑 → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunress
StepHypRef Expression
1 wunress.3 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
2 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑊s 𝐴) = (𝑊s 𝐴)
3 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
42, 3ressval 15754 . . . . 5 ((𝑊𝑈𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
51, 4sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
6 wunress.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
7 df-base 15700 . . . . . . . . 9 Base = Slot 1
8 wunress.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
96, 8wunndx 15711 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)
107, 6, 9wunstr 15714 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ 𝑈)
11 incom 3767 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
127, 6, 1wunstr 15714 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ 𝑈)
136, 12wunin 9414 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) ∈ 𝑈)
1411, 13syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ 𝑈)
156, 10, 14wunop 9423 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩ ∈ 𝑈)
166, 1, 15wunsets 15728 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩) ∈ 𝑈)
171, 16ifcld 4081 . . . . 5 (𝜑 → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
1817adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ V) → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
195, 18eqeltrd 2688 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)
2019ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈))
216wun0 9419 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
22 reldmress 15753 . . . . 5 Rel dom ↾s
2322ovprc2 6583 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
2423eleq1d 2672 . . 3 𝐴 ∈ V → ((𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
2521, 24syl5ibrcom 236 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈))
2620, 25pm2.61d 169 1 (𝜑 → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957  WUnicwun 9401  1c1 9816  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Basecbs 15695   ↾s cress 15696 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-wun 9403  df-ni 9573  df-pli 9574  df-mi 9575  df-lti 9576  df-plpq 9609  df-mpq 9610  df-ltpq 9611  df-enq 9612  df-nq 9613  df-erq 9614  df-plq 9615  df-mq 9616  df-1nq 9617  df-rq 9618  df-ltnq 9619  df-np 9682  df-plp 9684  df-ltp 9686  df-enr 9756  df-nr 9757  df-c 9821  df-nn 10898  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator