Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunom 9421
 Description: A weak universe contains all the finite ordinals, and hence is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wun0.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
Assertion
Ref Expression
wunom (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem wunom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wun0.1 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑈 ∈ WUni)
31wunr1om 9420 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈)
4 r1funlim 8512 . . . . . . . 8 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
54simpli 473 . . . . . . 7 Fun 𝑅1
64simpri 477 . . . . . . . 8 Lim dom 𝑅1
7 limomss 6962 . . . . . . . 8 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ω ⊆ dom 𝑅1
9 funimass4 6157 . . . . . . 7 ((Fun 𝑅1 ∧ ω ⊆ dom 𝑅1) → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
105, 8, 9mp2an 704 . . . . . 6 ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
113, 10sylib 207 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
1211r19.21bi 2916 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
13 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
148, 13sseldi 3566 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
15 onssr1 8577 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom 𝑅1𝑥 ⊆ (𝑅1𝑥))
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ⊆ (𝑅1𝑥))
172, 12, 16wunss 9413 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥𝑈)
1817ex 449 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ω → 𝑥𝑈))
1918ssrdv 3574 1 (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  dom cdm 5038   “ cima 5041  Lim wlim 5641  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  ωcom 6957  𝑅1cr1 8508  WUnicwun 9401 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-r1 8510  df-rank 8511  df-wun 9403 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator