Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncn 9870
 Description: A weak universe containing ω contains the complex number construction. This theorem is construction-dependent in the literal sense, but will also be satisfied by any other reasonable implementation of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wuncn.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wuncn.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
wuncn (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuncn
StepHypRef Expression
1 df-c 9821 . 2 ℂ = (R × R)
2 wuncn.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
3 df-nr 9757 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
4 df-ni 9573 . . . . . . . . . . . 12 N = (ω ∖ {∅})
5 wuncn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
62, 5wundif 9415 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ω ∖ {∅}) ∈ 𝑈)
74, 6syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑N𝑈)
82, 7, 7wunxp 9425 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (N × N) ∈ 𝑈)
9 elpqn 9626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
109ssriv 3572 . . . . . . . . . . 11 Q ⊆ (N × N)
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑Q ⊆ (N × N))
122, 8, 11wunss 9413 . . . . . . . . 9 (𝜑Q𝑈)
132, 12wunpw 9408 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 Q𝑈)
14 prpssnq 9691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥P𝑥Q)
1514pssssd 3666 . . . . . . . . . . 11 (𝑥P𝑥Q)
16 selpw 4115 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 Q𝑥Q)
1715, 16sylibr 223 . . . . . . . . . 10 (𝑥P𝑥 ∈ 𝒫 Q)
1817ssriv 3572 . . . . . . . . 9 P ⊆ 𝒫 Q
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑P ⊆ 𝒫 Q)
202, 13, 19wunss 9413 . . . . . . 7 (𝜑P𝑈)
212, 20, 20wunxp 9425 . . . . . 6 (𝜑 → (P × P) ∈ 𝑈)
222, 21wunpw 9408 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 (P × P) ∈ 𝑈)
23 enrer 9765 . . . . . . 7 ~R Er (P × P)
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ~R Er (P × P))
2524qsss 7695 . . . . 5 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
262, 22, 25wunss 9413 . . . 4 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ∈ 𝑈)
273, 26syl5eqel 2692 . . 3 (𝜑R𝑈)
282, 27, 27wunxp 9425 . 2 (𝜑 → (R × R) ∈ 𝑈)
291, 28syl5eqel 2692 1 (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   × cxp 5036  ωcom 6957   Er wer 7626   / cqs 7628  WUnicwun 9401  Ncnpi 9545  Qcnq 9553  Pcnp 9560   ~R cer 9565  Rcnr 9566  ℂcc 9813 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-wun 9403  df-ni 9573  df-pli 9574  df-mi 9575  df-lti 9576  df-plpq 9609  df-mpq 9610  df-ltpq 9611  df-enq 9612  df-nq 9613  df-erq 9614  df-plq 9615  df-mq 9616  df-1nq 9617  df-rq 9618  df-ltnq 9619  df-np 9682  df-plp 9684  df-ltp 9686  df-enr 9756  df-nr 9757  df-c 9821 This theorem is referenced by:  wunndx  15711
 Copyright terms: Public domain W3C validator