Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdl2exs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdl2exs2 13538
 Description: A word of length 2 is a doubleton word. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
wrdl2exs2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2) → ∃𝑠𝑆𝑡𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡

Proof of Theorem wrdl2exs2
StepHypRef Expression
1 1le2 11118 . . . 4 1 ≤ 2
2 breq2 4587 . . . 4 ((#‘𝑊) = 2 → (1 ≤ (#‘𝑊) ↔ 1 ≤ 2))
31, 2mpbiri 247 . . 3 ((#‘𝑊) = 2 → 1 ≤ (#‘𝑊))
4 wrdsymb1 13197 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ 𝑆)
53, 4sylan2 490 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2) → (𝑊‘0) ∈ 𝑆)
6 lsw 13204 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
7 oveq1 6556 . . . . . 6 ((#‘𝑊) = 2 → ((#‘𝑊) − 1) = (2 − 1))
8 2m1e1 11012 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
97, 8syl6eq 2660 . . . . 5 ((#‘𝑊) = 2 → ((#‘𝑊) − 1) = 1)
109fveq2d 6107 . . . 4 ((#‘𝑊) = 2 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘1))
116, 10sylan9eq 2664 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘1))
12 2nn 11062 . . . 4 2 ∈ ℕ
13 lswlgt0cl 13209 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2)) → ( lastS ‘𝑊) ∈ 𝑆)
1412, 13mpan 702 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2) → ( lastS ‘𝑊) ∈ 𝑆)
1511, 14eqeltrrd 2689 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2) → (𝑊‘1) ∈ 𝑆)
16 wrdlen2s2 13537 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
17 id 22 . . . . 5 (𝑠 = (𝑊‘0) → 𝑠 = (𝑊‘0))
18 eqidd 2611 . . . . 5 (𝑠 = (𝑊‘0) → 𝑡 = 𝑡)
1917, 18s2eqd 13459 . . . 4 (𝑠 = (𝑊‘0) → ⟨“𝑠𝑡”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩)
2019eqeq2d 2620 . . 3 (𝑠 = (𝑊‘0) → (𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩))
21 eqidd 2611 . . . . 5 (𝑡 = (𝑊‘1) → (𝑊‘0) = (𝑊‘0))
22 id 22 . . . . 5 (𝑡 = (𝑊‘1) → 𝑡 = (𝑊‘1))
2321, 22s2eqd 13459 . . . 4 (𝑡 = (𝑊‘1) → ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
2423eqeq2d 2620 . . 3 (𝑡 = (𝑊‘1) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩))
2520, 24rspc2ev 3295 . 2 (((𝑊‘0) ∈ 𝑆 ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑆𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) → ∃𝑠𝑆𝑡𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)
265, 15, 16, 25syl3anc 1318 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2) → ∃𝑠𝑆𝑡𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147  ⟨“cs2 13437 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator