Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wnefimgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wnefimgd 37480
Description: The image of a mapping from A is non empty if A is non empty. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
wnefimgd.1 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
wnefimgd.2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
wnefimgd (𝜑 → (𝐹𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem wnefimgd
StepHypRef Expression
1 ssid 3587 . . . . 5 𝐴𝐴
2 wnefimgd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
3 fdm 5964 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
51, 4syl5sseqr 3617 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
6 sseqin2 3779 . . . 4 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹𝐴) = 𝐴)
75, 6sylib 207 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) = 𝐴)
8 wnefimgd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
97, 8eqnetrd 2849 . 2 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) ≠ ∅)
10 imadisj 5403 . . 3 ((𝐹𝐴) = ∅ ↔ (dom 𝐹𝐴) = ∅)
1110necon3bii 2834 . 2 ((𝐹𝐴) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹𝐴) ≠ ∅)
129, 11sylibr 223 1 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wne 2780  cin 3539  wss 3540  c0 3874  dom cdm 5038  cima 5041  wf 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-fn 5807  df-f 5808
This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  37487  imo72b2lem2  37489  imo72b2lem1  37493  imo72b2  37497
  Copyright terms: Public domain W3C validator