Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkiswwlk1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkiswwlk1 26218
 Description: The sequence of vertices in a walk is a walk as word in an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlk1 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))

Proof of Theorem wlkiswwlk1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkbprop 26051 . . 3 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
2 wlkn0 26055 . . . . 5 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃𝑃 ≠ ∅)
3 iswlk 26048 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4 simprl 790 . . . . . . . . . 10 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) → 𝑃 ≠ ∅)
5 ffz0iswrd 13187 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃 ∈ Word 𝑉)
653ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
76adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
9 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
10 ffz0hash 13088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
11 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
12 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℂ
13 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#‘𝐹) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((#‘𝐹) + 1) − 1) = (#‘𝐹))
1413eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝐹) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (#‘𝐹) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
1511, 12, 14sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (#‘𝐹) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
17 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝐹) + 1) = (#‘𝑃) → (((#‘𝐹) + 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 1))
1817eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (((#‘𝐹) + 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 1))
1918eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → ((#‘𝐹) = (((#‘𝐹) + 1) − 1) ↔ (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1)))
2016, 19syl5ib 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1)))
2110, 20mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
229, 21sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
2322ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
2423oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
2524raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
26 usgrafun 25878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 USGrph 𝐸 → Fun 𝐸)
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → Fun 𝐸)
2827ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → Fun 𝐸)
29 wrdf 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
30 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
3121eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((#‘𝑃) − 1) = (#‘𝐹))
3231adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((#‘𝑃) − 1) = (#‘𝐹))
3332oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^(#‘𝐹)))
3433eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
3534biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
3630, 35ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)
3736exp31 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
3829, 9, 37syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
3938imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸))
4039ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸))
4140imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)
4228, 41jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (Fun 𝐸 ∧ (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) ∧ (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (Fun 𝐸 ∧ (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸))
44 fvelrn 6260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐸 ∧ (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) ∧ (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸)
46 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹𝑖)) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸))
4746eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸))
4847adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) ∧ (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸))
4945, 48mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) ∧ (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
5049ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5150ralimdva 2945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5225, 51sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5352exp31 628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))))
5453com24 93 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))))
55543impia 1253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
5655impcom 445 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5756imp 444 . . . . . . . . . 10 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
584, 8, 573jca 1235 . . . . . . . . 9 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸)) → (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5958ex 449 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
60 iswwlk 26211 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
6160bicomd 212 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ↔ 𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))
6261ad2antrr 758 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ↔ 𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))
6359, 62sylibd 228 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → 𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))
6463exp4b 630 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝑃 ≠ ∅ → (𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))))
653, 64sylbid 229 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝑃 ≠ ∅ → (𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))))
662, 65mpdi 44 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))))
67663adant1 1072 . . 3 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))))
681, 67mpcom 37 . 2 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))
6968com12 32 1 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   USGrph cusg 25859   Walks cwalk 26026   WWalks cwwlk 26205 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-usgra 25862  df-wlk 26036  df-wwlk 26207 This theorem is referenced by:  wlkiswwlk  26226  wlklniswwlkn1  26227
 Copyright terms: Public domain W3C validator