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Theorem wereu2 5035
 Description: All nonempty (possibly proper) subclasses of 𝐴, which has a well-founded relation 𝑅, have 𝑅-minimal elements. Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
wereu2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem wereu2
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3890 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐵)
2 rabeq0 3911 . . . . . . . 8 ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} = ∅ ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
3 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑅𝑥𝑤𝑅𝑥))
43notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑥))
54cbvralv 3147 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥)
6 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑅𝑥𝑤𝑅𝑧))
76notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑧))
87ralbidv 2969 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
95, 8syl5bb 271 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
109rspcev 3282 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐵 ∧ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
1110ex 449 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐵 → (∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1211ad2antll 761 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → (∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
132, 12syl5bi 231 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝐵𝐴)
15 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴)
16 sess2 5007 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴 → (𝑅 Se 𝐴𝑅 Se 𝐵))
1714, 15, 16sylc 63 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Se 𝐵)
18 simprr 792 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
19 seex 5001 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Se 𝐵𝑧𝐵) → {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
2017, 18, 19syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
21 wefr 5028 . . . . . . . . . 10 (𝑅 We 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
2221ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Fr 𝐴)
23 ssrab2 3650 . . . . . . . . . 10 {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐵
2423, 14syl5ss 3579 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴)
25 fri 5000 . . . . . . . . . 10 ((({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2625expr 641 . . . . . . . . 9 ((({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
2720, 22, 24, 26syl21anc 1317 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
28 breq1 4586 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧𝑥𝑅𝑧))
2928rexrab 3337 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
30 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧))
3130ralrab 3335 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
32 weso 5029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
3332ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Or 𝐴)
34 soss 4977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐵))
3514, 33, 34sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Or 𝐵)
3635ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑅 Or 𝐵)
37 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
38 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
3918ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝐵)
40 sotr 4981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 Or 𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
4136, 37, 38, 39, 40syl13anc 1320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
4241ancomsd 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧𝑦𝑅𝑥) → 𝑦𝑅𝑧))
4342expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑅𝑧))
4443an32s 842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑅𝑧))
4544con3d 147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
46 idd 24 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
4745, 46jad 173 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
4847ralimdva 2945 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
4931, 48syl5bi 231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5049expimpd 627 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5150reximdva 3000 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → (∃𝑥𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5229, 51syl5bi 231 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → (∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5327, 52syld 46 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5413, 53pm2.61dne 2868 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
5554expr 641 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑧𝐵 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5655exlimdv 1848 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (∃𝑧 𝑧𝐵 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
571, 56syl5bi 231 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5857impr 647 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
59 simprl 790 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵𝐴)
6032ad2antrr 758 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐴)
6159, 60, 34sylc 63 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐵)
62 somo 4993 . . 3 (𝑅 Or 𝐵 → ∃*𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
6361, 62syl 17 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃*𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
64 reu5 3136 . 2 (∃!𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∃*𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
6558, 63, 64sylanbrc 695 1 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∃!wreu 2898  ∃*wrmo 2899  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   Or wor 4958   Fr wfr 4994   Se wse 4995   We wwe 4996 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999 This theorem is referenced by:  tz6.26  5628  weniso  6504  ordtypelem3  8308  dfac8clem  8738
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