Theorem wepwsolem 36630

Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wepwso.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)))}
wepwso.u	⊢ 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
wepwso.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ↦ (◡𝑎 “ {1𝑜}))

Assertion

Ref	Expression
wepwsolem	⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2𝑜 ↑𝑚 𝐴), 𝒫 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑇,𝑎   𝑈,𝑎

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐹(𝑎)

Proof of Theorem wepwsolem

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wepwso.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ↦ (◡𝑎 “ {1𝑜}))
2	1	pw2f1o2 36623	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹:(2𝑜 ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴)
3		fvex 6113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐‘𝑧) ∈ V
4	3	epelc 4951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧))
5		elmapi 7765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) → 𝑏:𝐴⟶2𝑜)
6	5	ad2antrl 760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) → 𝑏:𝐴⟶2𝑜)
7	6	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜)
8		elmapi 7765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) → 𝑐:𝐴⟶2𝑜)
9	8	ad2antll 761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) → 𝑐:𝐴⟶2𝑜)
10	9	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜)
11		n0i 3879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → ¬ (𝑐‘𝑧) = ∅)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ¬ (𝑐‘𝑧) = ∅)
13		elpri 4145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐‘𝑧) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜))
14		df2o3 7460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
15	13, 14	eleq2s 2706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜 → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜))
16	15	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜))
17		orel1 396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑐‘𝑧) = ∅ → (((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜) → (𝑐‘𝑧) = 1𝑜))
18	12, 16, 17	sylc 63	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → (𝑐‘𝑧) = 1𝑜)
19		1on 7454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1𝑜 ∈ On
20	19	onirri 5751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 1𝑜 ∈ 1𝑜
21		eleq12 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏‘𝑧) = 1𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ 1𝑜 ∈ 1𝑜))
22	21	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏‘𝑧) = 1𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → 1𝑜 ∈ 1𝑜))
23	22	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 → ((𝑏‘𝑧) = 1𝑜 → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → 1𝑜 ∈ 1𝑜)))
24	23	com3r 85	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 → ((𝑏‘𝑧) = 1𝑜 → 1𝑜 ∈ 1𝑜)))
25	24	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏‘𝑧) = 1𝑜 → 1𝑜 ∈ 1𝑜))
26	25	adantll 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏‘𝑧) = 1𝑜 → 1𝑜 ∈ 1𝑜))
27	20, 26	mtoi 189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜) → ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)
28	18, 27	mpdan 699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)
29	18, 28	jca 553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜))
30		elpri 4145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜))
31	30, 14	eleq2s 2706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜))
33		orel2 397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜 → (((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜) → (𝑏‘𝑧) = ∅))
34	32, 33	mpan9 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜) → (𝑏‘𝑧) = ∅)
35	34	adantrl 748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)) → (𝑏‘𝑧) = ∅)
36		0lt1o 7471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1𝑜
37	35, 36	syl6eqel 2696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)) → (𝑏‘𝑧) ∈ 1𝑜)
38		simprl 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)) → (𝑐‘𝑧) = 1𝑜)
39	37, 38	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)) → (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧))
40	29, 39	impbida 873	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)))
41	7, 10, 40	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)))
42		simplrr 797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))
43	1	pw2f1o2val2 36625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜))
44	42, 43	sylancom 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜))
45		simplrl 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))
46	1	pw2f1o2val2 36625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜))
47	45, 46	sylancom 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜))
48	47	notbid 307	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜))
49	44, 48	anbi12d 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)))
50	41, 49	bitr4d 270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
51	4, 50	syl5bb 271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
52	6	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜)
53	9	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜)
54		eqeq1 2614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) → ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
55		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏‘𝑤) = ∅)
56		1n0 7462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
57	56	nesymi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ ∅ = 1𝑜
58		eqeq1 2614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = ∅ → ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ ∅ = 1𝑜))
59	57, 58	mtbiri 316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = ∅ → ¬ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜)
60	59	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → ¬ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜)
61		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
62	60, 61	mtbid 313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → ¬ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)
63		elpri 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐‘𝑤) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
64	63, 14	eleq2s 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜 → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
65	64	ad3antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
66		orel2 397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜 → (((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜) → (𝑐‘𝑤) = ∅))
67	62, 65, 66	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → (𝑐‘𝑤) = ∅)
68	55, 67	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
69	68	ex 449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) → (((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
70		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏‘𝑤) = 1𝑜)
71		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
72	70, 71	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)
73	70, 72	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
74	73	ex 449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜) → (((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
75		elpri 4145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜))
76	75, 14	eleq2s 2706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜))
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜))
78	69, 74, 77	mpjaodan 823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) → (((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
79	54, 78	impbid2 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)))
80	52, 53, 79	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)))
81		simplrl 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))
82	1	pw2f1o2val2 36625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜))
83	81, 82	sylancom 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜))
84		simplrr 797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))
85	1	pw2f1o2val2 36625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
86	84, 85	sylancom 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
87	83, 86	bibi12d 334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)))
88	80, 87	bitr4d 270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))
89	88	imbi2d 329	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
90	89	ralbidva 2968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
91	90	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
92	51, 91	anbi12d 743	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
93	92	rexbidva 3031	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
94		vex 3176	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
95		vex 3176	. . . . 5 ⊢ 𝑐 ∈ V
96		fveq1 6102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝑧) = (𝑏‘𝑧))
97		fveq1 6102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦‘𝑧) = (𝑐‘𝑧))
98	96, 97	breqan12d 4599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ↔ (𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧)))
99		fveq1 6102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝑤) = (𝑏‘𝑤))
100		fveq1 6102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
101	99, 100	eqeqan12d 2626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤) ↔ (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
102	101	imbi2d 329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
103	102	ralbidv 2969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
104	98, 103	anbi12d 743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))))
105	104	rexbidv 3034	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))))
106		wepwso.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
107	94, 95, 105, 106	braba 4917	. . . 4 ⊢ (𝑏𝑈𝑐 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
108		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑏) ∈ V
109		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑐) ∈ V
110		eleq2 2677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐)))
111		eleq2 2677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)))
112	111	notbid 307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)))
113	110, 112	bi2anan9r 914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
114		eleq2 2677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏)))
115		eleq2 2677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → (𝑤 ∈ 𝑦 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))
116	114, 115	bi2bian9 915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))
117	116	imbi2d 329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
118	117	ralbidv 2969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
119	113, 118	anbi12d 743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
120	119	rexbidv 3034	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
121		wepwso.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)))}
122	108, 109, 120, 121	braba 4917	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
123	93, 107, 122	3bitr4g 302	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) → (𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐)))
124	123	ralrimivva 2954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∀𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴)∀𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐)))
125		df-isom 5813	. 2 ⊢ (𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2𝑜 ↑𝑚 𝐴), 𝒫 𝐴) ↔ (𝐹:(2𝑜 ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴)∀𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐))))
126	2, 124, 125	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2𝑜 ↑𝑚 𝐴), 𝒫 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  {copab 4642   ↦ cmpt 4643   E cep 4947  ^◡ccnv 5037   “ cima 5041  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804   Isom wiso 5805  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440  2_𝑜c2o 7441   ↑_𝑚 cmap 7744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-2o 7448  df-map 7746

This theorem is referenced by:  wepwso  36631