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Theorem wepwsolem 36630
 Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wepwso.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)))}
wepwso.u 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
wepwso.f 𝐹 = (𝑎 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ↦ (𝑎 “ {1𝑜}))
Assertion
Ref Expression
wepwsolem (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2𝑜𝑚 𝐴), 𝒫 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑇,𝑎   𝑈,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐹(𝑎)

Proof of Theorem wepwsolem
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wepwso.f . . 3 𝐹 = (𝑎 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ↦ (𝑎 “ {1𝑜}))
21pw2f1o2 36623 . 2 (𝐴 ∈ V → 𝐹:(2𝑜𝑚 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴)
3 fvex 6113 . . . . . . . 8 (𝑐𝑧) ∈ V
43epelc 4951 . . . . . . 7 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ↔ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧))
5 elmapi 7765 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) → 𝑏:𝐴⟶2𝑜)
65ad2antrl 760 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) → 𝑏:𝐴⟶2𝑜)
76ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑏𝑧) ∈ 2𝑜)
8 elmapi 7765 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) → 𝑐:𝐴⟶2𝑜)
98ad2antll 761 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) → 𝑐:𝐴⟶2𝑜)
109ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜)
11 n0i 3879 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → ¬ (𝑐𝑧) = ∅)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ¬ (𝑐𝑧) = ∅)
13 elpri 4145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐𝑧) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1𝑜))
14 df2o3 7460 . . . . . . . . . . . . . 14 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
1513, 14eleq2s 2706 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑧) ∈ 2𝑜 → ((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1𝑜))
1615ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1𝑜))
17 orel1 396 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑐𝑧) = ∅ → (((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1𝑜) → (𝑐𝑧) = 1𝑜))
1812, 16, 17sylc 63 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → (𝑐𝑧) = 1𝑜)
19 1on 7454 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 ∈ On
2019onirri 5751 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 1𝑜 ∈ 1𝑜
21 eleq12 2678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏𝑧) = 1𝑜 ∧ (𝑐𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ 1𝑜 ∈ 1𝑜))
2221biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏𝑧) = 1𝑜 ∧ (𝑐𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → 1𝑜 ∈ 1𝑜))
2322expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐𝑧) = 1𝑜 → ((𝑏𝑧) = 1𝑜 → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → 1𝑜 ∈ 1𝑜)))
2423com3r 85 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → ((𝑐𝑧) = 1𝑜 → ((𝑏𝑧) = 1𝑜 → 1𝑜 ∈ 1𝑜)))
2524imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ∧ (𝑐𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏𝑧) = 1𝑜 → 1𝑜 ∈ 1𝑜))
2625adantll 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) ∧ (𝑐𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏𝑧) = 1𝑜 → 1𝑜 ∈ 1𝑜))
2720, 26mtoi 189 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) ∧ (𝑐𝑧) = 1𝑜) → ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)
2818, 27mpdan 699 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)
2918, 28jca 553 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜))
30 elpri 4145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝑧) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1𝑜))
3130, 14eleq2s 2706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 → ((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1𝑜))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) → ((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1𝑜))
33 orel2 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜 → (((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1𝑜) → (𝑏𝑧) = ∅))
3432, 33mpan9 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜) → (𝑏𝑧) = ∅)
3534adantrl 748 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)) → (𝑏𝑧) = ∅)
36 0lt1o 7471 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ 1𝑜
3735, 36syl6eqel 2696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)) → (𝑏𝑧) ∈ 1𝑜)
38 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)) → (𝑐𝑧) = 1𝑜)
3937, 38eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)) → (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧))
4029, 39impbida 873 . . . . . . . . 9 (((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)))
417, 10, 40syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)))
42 simplrr 797 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))
431pw2f1o2val2 36625 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑧) = 1𝑜))
4442, 43sylancom 698 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑧) = 1𝑜))
45 simplrl 796 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))
461pw2f1o2val2 36625 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑧) = 1𝑜))
4745, 46sylancom 698 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑧) = 1𝑜))
4847notbid 307 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏) ↔ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜))
4944, 48anbi12d 743 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ↔ ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)))
5041, 49bitr4d 270 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏))))
514, 50syl5bb 271 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏))))
526ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑏𝑤) ∈ 2𝑜)
539ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜)
54 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) → ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
55 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏𝑤) = ∅)
56 1n0 7462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1𝑜 ≠ ∅
5756nesymi 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ ∅ = 1𝑜
58 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏𝑤) = ∅ → ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ ∅ = 1𝑜))
5957, 58mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏𝑤) = ∅ → ¬ (𝑏𝑤) = 1𝑜)
6059ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → ¬ (𝑏𝑤) = 1𝑜)
61 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
6260, 61mtbid 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → ¬ (𝑐𝑤) = 1𝑜)
63 elpri 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐𝑤) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
6463, 14eleq2s 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐𝑤) ∈ 2𝑜 → ((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
6564ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → ((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
66 orel2 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑐𝑤) = 1𝑜 → (((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1𝑜) → (𝑐𝑤) = ∅))
6762, 65, 66sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → (𝑐𝑤) = ∅)
6855, 67eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))
6968ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) → (((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
70 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏𝑤) = 1𝑜)
71 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
7270, 71mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → (𝑐𝑤) = 1𝑜)
7370, 72eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))
7473ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = 1𝑜) → (((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
75 elpri 4145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑤) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑏𝑤) = ∅ ∨ (𝑏𝑤) = 1𝑜))
7675, 14eleq2s 2706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 → ((𝑏𝑤) = ∅ ∨ (𝑏𝑤) = 1𝑜))
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) → ((𝑏𝑤) = ∅ ∨ (𝑏𝑤) = 1𝑜))
7869, 74, 77mpjaodan 823 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) → (((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
7954, 78impbid2 215 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) → ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) ↔ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)))
8052, 53, 79syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) ↔ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)))
81 simplrl 796 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))
821pw2f1o2val2 36625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑤) = 1𝑜))
8381, 82sylancom 698 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑤) = 1𝑜))
84 simplrr 797 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))
851pw2f1o2val2 36625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
8684, 85sylancom 698 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
8783, 86bibi12d 334 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)) ↔ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)))
8880, 87bitr4d 270 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))
8988imbi2d 329 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
9089ralbidva 2968 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
9190adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
9251, 91anbi12d 743 . . . . 5 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
9392rexbidva 3031 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) → (∃𝑧𝐴 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
94 vex 3176 . . . . 5 𝑏 ∈ V
95 vex 3176 . . . . 5 𝑐 ∈ V
96 fveq1 6102 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝑧) = (𝑏𝑧))
97 fveq1 6102 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦𝑧) = (𝑐𝑧))
9896, 97breqan12d 4599 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ↔ (𝑏𝑧) E (𝑐𝑧)))
99 fveq1 6102 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝑤) = (𝑏𝑤))
100 fveq1 6102 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦𝑤) = (𝑐𝑤))
10199, 100eqeqan12d 2626 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → ((𝑥𝑤) = (𝑦𝑤) ↔ (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
102101imbi2d 329 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))))
103102ralbidv 2969 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))))
10498, 103anbi12d 743 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → (((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))))
105104rexbidv 3034 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → (∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))))
106 wepwso.u . . . . 5 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
10794, 95, 105, 106braba 4917 . . . 4 (𝑏𝑈𝑐 ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))))
108 fvex 6113 . . . . 5 (𝐹𝑏) ∈ V
109 fvex 6113 . . . . 5 (𝐹𝑐) ∈ V
110 eleq2 2677 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑐) → (𝑧𝑦𝑧 ∈ (𝐹𝑐)))
111 eleq2 2677 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑏) → (𝑧𝑥𝑧 ∈ (𝐹𝑏)))
112111notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑏) → (¬ 𝑧𝑥 ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)))
113110, 112bi2anan9r 914 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏))))
114 eleq2 2677 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹𝑏) → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹𝑏)))
115 eleq2 2677 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑐) → (𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))
116114, 115bi2bian9 915 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → ((𝑤𝑥𝑤𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))
117116imbi2d 329 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
118117ralbidv 2969 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
119113, 118anbi12d 743 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → (((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
120119rexbidv 3034 . . . . 5 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → (∃𝑧𝐴 ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦))) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
121 wepwso.t . . . . 5 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)))}
122108, 109, 120, 121braba 4917 . . . 4 ((𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
12393, 107, 1223bitr4g 302 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) → (𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐)))
124123ralrimivva 2954 . 2 (𝐴 ∈ V → ∀𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴)∀𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐)))
125 df-isom 5813 . 2 (𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2𝑜𝑚 𝐴), 𝒫 𝐴) ↔ (𝐹:(2𝑜𝑚 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴)∀𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐))))
1262, 124, 125sylanbrc 695 1 (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2𝑜𝑚 𝐴), 𝒫 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  {copab 4642   ↦ cmpt 4643   E cep 4947  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804   Isom wiso 5805  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441   ↑𝑚 cmap 7744 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-2o 7448  df-map 7746 This theorem is referenced by:  wepwso  36631
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