Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  welb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem welb 32701
Description: A nonempty subset of a well-ordered set has a lower bound. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
welb ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem welb
StepHypRef Expression
1 wess 5025 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐵))
21impcom 445 . . . . 5 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 We 𝐵)
3 weso 5029 . . . . 5 (𝑅 We 𝐵𝑅 Or 𝐵)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
5 cnvso 5591 . . . 4 (𝑅 Or 𝐵𝑅 Or 𝐵)
64, 5sylib 207 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
763ad2antr2 1220 . 2 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐵)
8 wefr 5028 . . . . 5 (𝑅 We 𝐵𝑅 Fr 𝐵)
92, 8syl 17 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Fr 𝐵)
1093ad2antr2 1220 . . 3 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Fr 𝐵)
11 ssid 3587 . . . . . 6 𝐵𝐵
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐵𝐴𝐵𝐵)
13123anim2i 1242 . . . 4 ((𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅))
1413adantl 481 . . 3 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅))
15 frinfm 32700 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
1610, 14, 15syl2anc 691 . 2 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
177, 16jca 553 1 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1031  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4583   Or wor 4958   Fr wfr 4994   We wwe 4996  ccnv 5037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-cnv 5046
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator