Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vtxdushgrfvedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdushgrfvedg 40705
 Description: The value of the vertex degree function for a simple hypergraph. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdushgrfvedg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdushgrfvedg ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((#‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) +𝑒 (#‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑈,𝑒   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑒)

Proof of Theorem vtxdushgrfvedg
Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdushgrfvedg.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21fveq1i 6104 . . 3 (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
32a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
4 vtxdushgrfvedg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 eqid 2610 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6 eqid 2610 . . . 4 dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
74, 5, 6vtxdgval 40684 . . 3 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
87adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
9 vtxdushgrfvedg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
104, 9vtxdushgrfvedglem 40704 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (#‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}))
11 fvex 6113 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) ∈ V
1211dmex 6991 . . . . . 6 dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
1312rabex 4740 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V)
15 eqid 2610 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} = {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}
16 eqeq1 2614 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑐 → (𝑒 = {𝑈} ↔ 𝑐 = {𝑈}))
1716cbvrabv 3172 . . . . 5 {𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}} = {𝑐𝐸𝑐 = {𝑈}}
18 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
199, 5, 4, 15, 17, 18ushgredgedgaloop 40458 . . . 4 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)):{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}–1-1-onto→{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})
2014, 19hasheqf1od 13006 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}) = (#‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}}))
2110, 20oveq12d 6567 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})) = ((#‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) +𝑒 (#‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})))
223, 8, 213eqtrd 2648 1 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((#‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) +𝑒 (#‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   +𝑒 cxad 11820  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674   USHGraph cushgr 25723  Edgcedga 25792  VtxDegcvtxdg 40681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-hash 12980  df-uhgr 25724  df-ushgr 25725  df-edga 25793  df-vtxdg 40682 This theorem is referenced by:  1loopgrvd2  40718
 Copyright terms: Public domain W3C validator