Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0ioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonn0ioo 39578
 Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval when the dimension of the space is nonzero. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0ioo.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonn0ioo.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonn0ioo.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonn0ioo.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonn0ioo.i 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
Assertion
Ref Expression
vonn0ioo (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0ioo
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0ioo.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 vonn0ioo.a . . . 4 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
3 vonn0ioo.b . . . 4 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
4 vonn0ioo.i . . . 4 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
5 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑎𝑗) = (𝑎𝑘))
6 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑏𝑗) = (𝑏𝑘))
75, 6oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)) = ((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))
87fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))) = (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))
98cbvprodv 14485 . . . . . . . 8 𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))) = ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))
10 ifeq2 4041 . . . . . . . 8 (∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))) = ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))) → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥)) → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))
1312mpt2eq3ia 6618 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))
1413mpteq2i 4669 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
151, 2, 3, 4, 14vonioo 39573 . . 3 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))))‘𝑋)𝐵))
1614fveq1i 6104 . . . . 5 ((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))))‘𝑋) = ((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)
1716oveqi 6562 . . . 4 (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))))‘𝑋)𝐵) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)𝐵)
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))))‘𝑋)𝐵) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)𝐵))
1915, 18eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)𝐵))
20 eqid 2610 . . 3 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
21 vonn0ioo.n . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
2220, 1, 21, 2, 3hoidmvn0val 39474 . 2 (𝜑 → (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
2319, 22eqtrd 2644 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ↑𝑚 cmap 7744  Xcixp 7794  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  (,)cioo 12046  [,)cico 12048  ∏cprod 14474  volcvol 23039  volncvoln 39428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-pws 15933  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-refld 19770  df-phl 19790  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-tng 22199  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-cncf 22489  df-clm 22671  df-cph 22776  df-tch 22777  df-rrx 22981  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-salg 39205  df-sumge0 39256  df-mea 39343  df-ome 39380  df-caragen 39382  df-ovoln 39427  df-voln 39429 This theorem is referenced by:  vonn0ioo2  39581
 Copyright terms: Public domain W3C validator