Theorem volicoff 38888

Description: ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) expressed in map-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
volicoff.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))

Assertion

Ref	Expression
volicoff	⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem volicoff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volf 23104	. . . 4 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
3		icof 38406	. . . . . . 7 ⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
5		ressxr 9962	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
6		xpss1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
9		volicoff.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))
10	4, 8, 9	fcoss 38397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ*)
11	10	ffnd 5959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
12	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))
13		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	12, 13	fvovco 38376	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))))
15	9	ffvelrnda 6267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*))
16		xp1st 7089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*) → (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
18		xp2nd 7090	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*)
19	15, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*)
20		icombl 23139	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ dom vol)
21	17, 19, 20	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ dom vol)
22	14, 21	eqeltrd 2688	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
23	22	ralrimiva 2949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
24		fnfvrnss 6297	. . . 4 ⊢ ((([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol) → ran ([,) ∘ 𝐹) ⊆ dom vol)
25	11, 23, 24	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ([,) ∘ 𝐹) ⊆ dom vol)
26		ffrn 5968	. . . 4 ⊢ (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ* → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶ran ([,) ∘ 𝐹))
27	10, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶ran ([,) ∘ 𝐹))
28	2, 25, 27	fcoss 38397	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
29		coass 5571	. . . 4 ⊢ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
30	29	feq1i 5949	. . 3 ⊢ (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
31	30	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞)))
32	28, 31	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1^st c1st 7057  2^nd c2nd 7058  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ^*cxr 9952  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  volcvol 23039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041

This theorem is referenced by:  volicofmpt  38890